Soluzioni
  • Ciao Luna12, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Essendo la funzione

    f(x)=\frac{6}{\sqrt{1-5x^2}}

    se vogliamo determinare i punti estremanti, prima di procedere al calcolo della derivata prima e allo studio della monotonia della funzione è cosa buona e giusta determinare il Dom(f).

    Per determinare il dominio della funzione, seguiamo le dovute regole (click sul link). Abbiamo una radice quadrata e un denominatore, ossia due condizioni da imporre:

    - argomento della radice quadrata non negativo (maggiore uguale a zero)

    - denominatore diverso da zero

    Le due condizioni vanno messe a sistema e non è difficile vedere che possono essere inglobate nell'unica condizione

    1-5x^2>0

    Tale disequazione ci fornisce il dominio della funzione

    Dom(f)=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

    Agli estremi del dominio qual'è il comportamento della funzione?

    Abbiamo due asintoti verticali:

    \lim_{x\to \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{+}}{f(x)}=+\infty

    \lim_{x\to \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-}}{f(x)}=+\infty

    Questo ci dice che non ci possono essere punti di massimo assoluto, ma solamente relativi. Ci possono invece essere punti di minimo assoluto.

    Calcoliamo la derivata prima: svolgendo i calcoli si trova

    f'(x)=\frac{30x}{\sqrt{(1-5x^2)^3}}

    e studiamone il segno, risolvendo la disequazione f'(x)\geq 0

    \frac{30x}{\sqrt{(1-5x^2)^3}}\geq 0

    Studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore, e limitando le soluzioni al dominio della funzione, si trova che la derivata prima della funzione è positiva per

    x\in \left(0,\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

    intervallo in cui f(x) è crescente, cosicché è facile dedurre che la funzione f(x) presenta in x=0 un punto di minimo assoluto, in cui vale

    f(0)=6

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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