Soluzioni
  • Consideriamo la funzione logaritmica

    f(x)=\ln[(x-1)(x-4)]

    e occupiamoci prima di tutto del suo dominio. La presenza del logaritmo naturale ci impone il richiedere che il suo argomento sia positivo, e ciò si traduce nella risoluzione della disequazione di secondo grado

    (x-1)(x-4)>0

    avente per soluzioni

    x<1\vee x>4

    dove \vee è il simbolo che indica la disgiunzione inclusiva or. Il dominio della funzione f(x), espresso come unione di intervalli, è dunque

    Dom(f)=(-\infty, 1)\cup (4,+\infty)

    In ogni punto del dominio f(x) è una funzione continua perché composizione di funzioni continue, dobbiamo analizzare se ci sono delle discontinuità ed eventualmente classificarle nei punti x=1, \ x=4.

    Per fare ciò, calcoliamo i limiti

    \lim_{x\to 1^{-}}f(x) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lim_{x\to4^{+}}f(x)

    partendo dal primo.

    In accordo con l'andamento della funzione logaritmo nell'intorno destro di 0 deduciamo che il primo limite è -\infty

    \lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}\ln[(x-1)(x-4)]=\ln[0^{-}\cdot(-5)]=\ln(0^{+})=-\infty

    dunque la funzione presenta in x=1 un punto di discontinuità di seconda specie , x=1, inoltre, è l'equazione dell'asintoto verticale.

    Allo stesso modo, calcoliamo il secondo limite

    \lim_{x\to4^{+}}\ln[(x-1)(x-4)]=\ln[3\cdot 0^{+}]=\ln(0^{+})=-\infty

    il cui risultato ci avverte che anche x=4 è un punto di discontinuità di seconda specie ed è un asintoto verticale.

    Risposta di Ifrit
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