Discontinuità e logaritmo naturale

Question

Vorrei sapere come si trova il tipo di discontinuità di una funzione contenente un logaritmo naturale, ad esempio f(x) = ln[(x-1)(x-4)] Come devo procedere per calcolare il dominio? E che valore devo sostituire a x_0 ?

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo la funzione logaritmica f(x) = ln[(x-1)(x-4)] e occupiamoci prima di tutto del suo dominio. La presenza del logaritmo naturale ci impone il richiedere che il suo argomento sia positivo, e ciò si traduce nella risoluzione della disequazione di secondo grado (x-1)(x-4) > 0 avente per soluzioni x < 1 ∨ x > 4 dove ∨ è il simbolo che indica la disgiunzione inclusiva or. Il dominio della funzione f(x), espresso come unione di intervalli, è dunque Dom(f) = (-∞, 1) U (4,+∞) In ogni punto del dominio f(x) è una funzione continua perché composizione di funzioni continue, dobbiamo analizzare se ci sono delle discontinuità ed eventualmente classificarle nei punti x = 1, x = 4. Per fare ciò, calcoliamo i limiti lim_(x → 1^(-))f(x) e lim_(x → 4^(+))f(x) partendo dal primo. In accordo con l'andamento della funzione logaritmo nell'intorno destro di 0 deduciamo che il primo limite è-∞ lim_(x → 1^(-))f(x) = lim_(x → 1^(-))ln[(x-1)(x-4)] = ln[0^(-)·(-5)] = ln(0^(+)) = -∞ dunque la funzione presenta in x = 1 un punto di discontinuità di seconda specie , x = 1, inoltre, è l'equazione dell'asintoto verticale. Allo stesso modo, calcoliamo il secondo limite lim_(x → 4^(+))ln[(x-1)(x-4)] = ln[3·0^(+)] = ln(0^(+)) = -∞ il cui risultato ci avverte che anche x = 4 è un punto di discontinuità di seconda specie ed è un asintoto verticale.