Soluzioni
  • Per ricavare le soluzioni dell'equazione esponenziale

    \sqrt{2\sqrt{2}}=4^{1-x}

    si tratta di portare tutti i termini che compaiono in forma di potenza, espressi con una stessa base e poi confrontare gli esponenti. Partiamo dal membro di sinistra: è sufficiente utilizzare la definizione di potenza con esponente fratto

    \sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}

    applicarla al radicale \sqrt{2\sqrt{2}} e utilizzare le proprietà delle potenze:

    \sqrt{2\sqrt{2}}=\sqrt{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2^{\frac{3}{2}}}=(2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{4}}

    Occupiamoci del termine esponenziale al secondo membro. Poiché 4=2^2, siamo autorizzati a scrivere l'uguaglianza

    4^{1-x}=(2^2)^{1-x}

    e grazie alla regola sulla potenza di una potenza, otteniamo

    4^{1-x}=2^{2(1-x)}

    I passaggi fatti consentono di esprimere l'equazione nella forma equivalente

    2^{\frac{3}{4}}=2^{2(1-x)}

    da cui, confrontando gli esponenti, otteniamo l'equazione di primo grado

    \frac{3}{4}=2(1-x)\ \ \ \to \ \ \ 2-2x=\frac{3}{4}

    Isoliamo x a sinistra dell'uguale

    -2x=\frac{3}{4}-2\ \ \ \to \ \ \ -2x=-\frac{5}{4}

    cambiamo i segni

    2x=\frac{5}{4}

    e infine dividiamo per 2

    x=\frac{5}{8}

    Il valore ottenuto è la soluzione dell'equazione data.

    Risposta di Ifrit
 
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