Soluzioni
  • È noto che f è un endomorfismo di R^3 la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:

    A = [1 0 -1 ; 0 2 0 ;-1 0 1]

    Occorre calcolare, se possibile, una base ortonormale di R^3 formata da autovettori dell'endomorfismo f.

    Studio dell'esistenza di una base ortonormale di autovettori

    Per il teorema spettrale reale una condizione necessaria e sufficiente affinché esista una base ortonormale di R^3 formata da autovettori di f è che f sia un endomorfismo simmetrico.

    In generale, fissato un prodotto scalare definito positivo su uno spazio vettoriale V, un endomorfismo f di V è simmetrico se e solo se la matrice associata a f rispetto a una base ortonormale mathcalB di V è una matrice simmetrica.

    Nel nostro caso V = R^3, il prodotto scalare è quello canonico e mathcalB è la base canonica di R^3, che è una base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico.

    Poiché A è una matrice simmetrica, f è un endomorfismo simmetrico e per il teorema spettrale esiste una base ortonormale di R^3 formata da autovettori di f.

    Calcolo di una base ortonormale di autovettori

    Ora che ne abbiamo appurato l'esistenza possiamo determinare una base siffatta.

    La prima cosa da fare è calcolare gli autovalori di f, dati degli zeri del polinomio caratteristico della matrice A.

     p_A(λ) = det(A-λ Id_3) = det[1-λ 0 -1 ; 0 2-λ 0 ;-1 0 1-λ] =

    sviluppiamo il determinante con Laplace, rispetto alla seconda riga

     = (2-λ)·det[1-λ -1 ;-1 1-λ] = (2-λ)[(1-λ)^2-1] = (2-λ)(-λ)(-λ+2)

    In buona sostanza

    p_A(λ) = -λ(2-λ)^2

    dunque gli autovalori di A sono:

    λ_1 = 0 ; λ_2 = 2

    Proseguiamo calcolando una base per ciascuno gli autospazi V_0 e V_2. L'unione delle loro basi fornirà una base di R^3 formata da autovettori di A che, successivamente, renderemo ortonormale.

    Una base di V_0 coincide con una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

    (A_0Id_3)x = 0

    ossia

    Ax = 0

    dove

    x = [x ; y ; z] ; 0 = [0 ; 0 ; 0]

    Troviamone la forma esplicita

    Ax = 0 → [1 0 -1 ; 0 2 0 ;-1 0 1][x ; y ; z] = [0 ; 0 ; 0]

    calcoliamo il prodotto tra matrici

    [x-z ; 2y ;-x+z] = [0 ; 0 ; 0]

    Due matrici sono uguali quando coincidono gli elementi che occupano la stessa posizione, pertanto dev'essere

    x-z = 0 ; 2y = 0 ;-x+z = 0

    La matrice dei coefficienti associata al sistema è A, che ha rango 2. Per il teorema di Rouché Capelli le soluzioni sono ∞^(3-2) = ∞^1.

    Se assegniamo il ruolo di parametro libero all'incognita z

    z = a con a ∈ R

    abbiamo

    (x,y,z) = (a,0,a) = a(1,0,1)

    per cui una base di V_0 è formata dal vettore

    v_1 = (1,0,1)

    Procedendo allo stesso modo, ossia calcolando una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo

    (A-2 Id_3) x = 0

    si trova che una base dell'autospazio V_2 è formata dai vettori

    v_2 = (-1,0,1) ; v_3 = (0,1,0)

    In definitiva, una base di R^3 formata da autovettori di f è

     mathcalB = v_1, v_2, v_3 = (1,0,1), (-1,0,1), (0,1,0)

    mathcalB è già una base ortogonale, tant'è vero che

    v_1·v_2 = v_1·v_3 = v_2·v_3 = 0

    di conseguenza una base ortonormale formata da autovettori è

    mathcalB'= u_1, u_2, u_3

    dove u_1, u_2, u_3 sono, rispettivamente, i normalizzati dei vettori v_1, v_2, v_3, ossia

    u_1 = (1)/(||v_1||) v_1 ; u_2 = (1)/(||v_2||) v_2 ; u_3 = (1)/(||v_3||) v_3

    Calcoliamo le norme:

     ||v_1|| = √(1^2+0^2+1^2) = √(2) ; ||v_2|| = √((-1)^2+0^2+1^2) = √(2) ; ||v_3|| = 1

    quindi

     u_1 = (1)/(||v_1||) v_1 = (1)/(√(2))(1,0,1) = ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2))) ; u_2 = (1)/(||v_2||) v_2 = (1)/(√(2))(-1,0,1) = (-(1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2))) ; u_3 = (1)/(||v_3||) v_3 = v_3 = (0,1,0)

    In conclusione, una base ortonormale di R^3 formata da autovettori di f è:

     mathcalB'= u_1, u_2, u_3 = ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2))), (-(1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2))), (0,1,0)

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare