Base ortonormale di autovettori di un endomorfismo

È noto che è un endomorfismo di la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:

Occorre calcolare, se possibile, una base ortonormale di formata da autovettori dell'endomorfismo .

Studio dell'esistenza di una base ortonormale di autovettori

Per il teorema spettrale reale una condizione necessaria e sufficiente affinché esista una base ortonormale di formata da autovettori di è che sia un endomorfismo simmetrico.

In generale, fissato un prodotto scalare definito positivo su uno spazio vettoriale , un endomorfismo di è simmetrico se e solo se la matrice associata a rispetto a una base ortonormale di è una matrice simmetrica.

Nel nostro caso , il prodotto scalare è quello canonico e è la base canonica di , che è una base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico.

Poiché è una matrice simmetrica, è un endomorfismo simmetrico e per il teorema spettrale esiste una base ortonormale di formata da autovettori di .

Calcolo di una base ortonormale di autovettori

Ora che ne abbiamo appurato l'esistenza possiamo determinare una base siffatta.

La prima cosa da fare è calcolare gli autovalori di , dati degli zeri del polinomio caratteristico della matrice .

sviluppiamo il determinante con Laplace, rispetto alla seconda riga

In buona sostanza

dunque gli autovalori di sono:

Proseguiamo calcolando una base per ciascuno gli autospazi e . L'unione delle loro basi fornirà una base di formata da autovettori di che, successivamente, renderemo ortonormale.

Una base di coincide con una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

ossia

dove

Troviamone la forma esplicita

calcoliamo il prodotto tra matrici

Due matrici sono uguali quando coincidono gli elementi che occupano la stessa posizione, pertanto dev'essere

La matrice dei coefficienti associata al sistema è , che ha rango 2. Per il teorema di Rouché Capelli le soluzioni sono .

Se assegniamo il ruolo di parametro libero all'incognita

abbiamo

per cui una base di è formata dal vettore

Procedendo allo stesso modo, ossia calcolando una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo

si trova che una base dell'autospazio è formata dai vettori

In definitiva, una base di formata da autovettori di è

è già una base ortogonale, tant'è vero che

di conseguenza una base ortonormale formata da autovettori è

dove sono, rispettivamente, i normalizzati dei vettori , ossia

Calcoliamo le norme:

quindi

In conclusione, una base ortonormale di formata da autovettori di è:

È tutto!