Risolvere triangolo rettangolo con formule della Trigonometria

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Salve carissimi non riesco a risolvere un triangolo rettangolo con le formule della Trigonometria, il testo dice:

 

risolvere il triangolo è rettangolo conoscendo il perimetro 2p e uno dei due angolo acuti α.

Domanda di Cat W

 
Soluzioni

  • Il testo asserisce che il triangolo è un triangolo rettangolo, inoltre uno degli angoli acuti è noto: \alpha.

    Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi allora l'altro angolo acuto ha ampiezza:

    \beta=\pi-\alpha

    Detti a il cateto opposto ad \alpha, b il cateto opposto all'ipotenusa,  c l'ipotenusa, per i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, si ha che:

    a=c\sin(\alpha)

    mentre

    b=c\cos(\alpha)

    Pertanto a+b+c=P se e solo se 

    c\sin(\alpha)+c\cos(\alpha)+c=P

    Facciamo un raccoglimento totale al primo membro:

    c(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)+1)=P

    Giusto per rendere chiara la cosa, l'unica incognita in questa equazione è c, pertanto:

    c=\frac{P}{1+\cos(\alpha)+\sin(\alpha)}

    Abbiamo ottenuto il primo lato, ossia l'ipotenusa. A questo punto sostituiamo il valore ottenuto nelle relazioni che abbiamo trovato in precedenza.

    a=c\sin(\alpha)=\frac{P\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)+\sin(\alpha)}

    b=c\cos(\alpha)=\frac{P\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)+\sin(\alpha)}

    Abbiamo terminato. :)

    Risposta di Ifrit
 
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