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  • Ciao danielee arrivo :)

    Risposta di Ifrit
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    Risposta di danieleee
  • La funzione è:

    \arccos\left(\log_2(-\cos(x))-\log_4\left(\sin(x)+\frac{1}{2}\right)\right)

    L'arcocoseno è una funzione ben definita quando il suo argomento è compreso tra meno 1 e 1.

    I vari logaritmi che intervengono sono ben definiti se i loro argomenti sono positivi.

     

    In pratica avremo a che fare col sistema:

    \begin{cases}-1\le\log_2(-\cos(x))-\log_4\left(\sin(x)+\frac{1}{2}\right)\le 1&\mbox{ condizione esistenza arccos }\\ -\cos(x)>0&\mbox{ condizione d'esistenza }\log_2\\ \sin(x)+\frac{1}{2}>0&\mbox{ condizione d'esistenza  }\log_4\end{cases}

     

    Ok, cominciamo:

    -\cos(x)>0

    \cos(x)<0

    x\in \left(\frac{1}{2}(4\pi n+\pi), \frac{1}{2}(4\pi n +\pi)\right)

     

    \sin(x)+\frac{1}{2}>0

    \sin(x)>-\frac{1}{2}

    x\in \left(-\frac{\pi}{6}+2n \pi, \frac{7\pi}{6}+2n\pi\right)

    I logaritmi sono definiti nell'intersezione:

    J=\left(\frac{1}{2}(4\pi n+\pi), \frac{1}{2}(4\pi n +\pi)\right)\cap\left(-\frac{\pi}{6}+2n \pi, \frac{7\pi}{6}+2n\pi\right)

    Bene, ora osserva che:

    \log_4(a(x))= \frac{\ln(a(x))}{2\ln(2)}

    mentre 

    \log_2(b(x))=\frac{\ln(b(x))}{\ln(2)}

     

    Sostituendo, l'argomento dell'arcoseno diventa:

    \frac{2\ln(-\cos(x))-\ln\left(\sin(x)+\frac{1}{2}\right)}{2\ln(2)} 

    \frac{\ln(\cos^2(x))-\ln\left(\sin(x)+\frac{1}{2}\right)}{2\ln(2)}

    Infine:

    \frac{\ln\left(\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)+\frac{1}{2}}\right)}{2\ln(2)}\quad\forall x\in J

     

    A questo punto devi risolvere la disequazione:

    -1\le \frac{\ln\left(\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)+\frac{1}{2}}\right)}{2\ln(2)}\le 1

    Il problema però non mi sembra di facile soluzione :(

    Risposta di Ifrit
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