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f(x) = arccos(log_2(-cos(x))-log_4(sin(x)+(1)/(2)))

Domanda di danieleee

 
Soluzioni

  • Ciao danielee arrivo :)

    Risposta di Ifrit

  • Laughing

    Risposta di danieleee

  • La funzione è:

    arccos(log_2(-cos(x))-log_4(sin(x)+(1)/(2)))

    L'arcocoseno è una funzione ben definita quando il suo argomento è compreso tra meno 1 e 1.

    I vari logaritmi che intervengono sono ben definiti se i loro argomenti sono positivi.

     

    In pratica avremo a che fare col sistema:

    -1 ≤ log_2(-cos(x))-log_4(sin(x)+(1)/(2)) ≤ 1 condizione esistenza arccos ;-cos(x) > 0 condizione d'esistenza log_2 ; sin(x)+(1)/(2) > 0 condizione d'esistenza  log_4

     

    Ok, cominciamo:

    -cos(x) > 0

    cos(x) < 0

    x∈ ((1)/(2)(4π n+π), (1)/(2)(4π n+π))

     

    sin(x)+(1)/(2) > 0

    sin(x) > -(1)/(2)

    x∈ (-(π)/(6)+2n π, (7π)/(6)+2nπ)

    I logaritmi sono definiti nell'intersezione:

    J = ((1)/(2)(4π n+π), (1)/(2)(4π n+π)) ∩ (-(π)/(6)+2n π, (7π)/(6)+2nπ)

    Bene, ora osserva che:

    log_4(a(x)) = (ln(a(x)))/(2ln(2))

    mentre 

    log_2(b(x)) = (ln(b(x)))/(ln(2))

     

    Sostituendo, l'argomento dell'arcoseno diventa:

    (2ln(-cos(x))-ln(sin(x)+(1)/(2)))/(2ln(2)) 

    (ln(cos^2(x))-ln(sin(x)+(1)/(2)))/(2ln(2))

    Infine:

    (ln((cos^2(x))/(sin(x)+ frac12)))/(2ln(2)) ∀ x∈ J

     

    A questo punto devi risolvere la disequazione:

    -1 ≤ (ln((cos^2(x))/(sin(x)+ frac12)))/(2ln(2)) ≤ 1

    Il problema però non mi sembra di facile soluzione :(

    Risposta di Ifrit
 
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