Soluzioni
  • Per verificare che

    S=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ 2x-y-z=0, \ x+2y+2z=0\}

    è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3 dobbiamo stabilire se è chiuso rispetto alla somma tra vettori e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare.

    Chiusura rispetto alla somma

    Presi due generici elementi di S:

    (x_1,y_1,z_1) \ \ ; \ \ (x_2,y_2,z_2)

    dobbiamo dimostrare che la loro somma appartiene a S, ossia che il vettore somma

    (x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2) = (x_1+x_2, \ y_1+y_2, \ z_1+z_2)

    verifica le due equazioni che definiscono l'insieme.

    Partiamo dalla prima

    \\ 2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)-(z_1+z_2) = \\ \\ = 2x_1+2x_2-y_1-y_2-z_1-z_2

    riordiniamo gli elementi come segue

    =(2x_1-y_1-z_1)+(2x_2-y_2-z_2)

    I vettori (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) appartengono a S, quindi entrambi verificano la prima equazione:

    \\ 2x_1-y_1-z_1=0 \\ \\ 2x_2-y_2-z_2=0

    di conseguenza

    (2x_1-y_1-z_1)+(2x_2-y_2-z_2)=0+0=0

    e quindi il vettore somma soddisfa la prima equazione di S.

    Passiamo alla seconda

    \\ (x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+2(z_1+z_2) = \\ \\ = x_1+x_2+2y_1+2y_2+2z_1+2z_2 = \\ \\ = (x_1+2y_1+2z_1) + (x_2+2y_2+2z_2)

    L'appartenenza di (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) all'insieme S garantisce che i due vettori soddisfano la seconda equazione di S, per cui

    \\ x_1+2y_1+2z_1=0 \\ \\ x_2+2y_2+2z_2=0

    cosicché

    (x_1+2y_1+2z_1) + (x_2+2y_2+2z_2)=0+0=0

    In definitiva il vettore somma verifica entrambe le equazioni dell'insieme, per cui S è chiuso rispetto alla somma.

    Chiusura rispetto al prodotto scalare-vettore

    S è chiuso rispetto prodotto per uno scalare se per ogni (x,y,z) \in S e per ogni \lambda \in \mathbb{R}, il vettore

    \lambda(x,y,z) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)

    appartiene a S, il che equivale a dire che (\lambda x, \lambda y, \lambda z) ne deve verificare entrambe le equazioni.

    Siano, allora, (x,y,z) \in S e \lambda \in \mathbb{R}.

    L'appartenenza di (x,y,z) a S assicura che:

    \\ 2x-y-z=0 \ \ (1) \\ \\ x+2y+2z=0 \ \ (2)

    Vediamo ora se (\lambda x, \lambda y, \lambda z) soddisfa le due equazioni.

    Per la prima:

    2(\lambda x)-(\lambda y)-(\lambda z)=2\lambda x - \lambda y -\lambda z=

    raccogliamo \lambda a fattor comune

    =\lambda(2x-y-z) =

    per la proprietà (1)

    =\lambda 0 = 0.

    Per la seconda:

    \\ \lambda x + 2(\lambda y) + 2(\lambda z) = \lambda x + 2\lambda y + 2 \lambda z = \\ \\ = \lambda(x+2y+2z) =

    per la proprietà (2)

    \lambda 0 =0.

    Il vettore prodotto verifica entrambe le equazioni di S, il che prova la chiusura rispetto al prodotto scalare-vettore.

    Per concludere, S è chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto di uno scalare definite in \mathbb{R}^3, e quindi è un suo sottospazio.

    Per gli esercizi futuri, è bene tener presente che se un sottoinsieme di \mathbb{R}^n è definito da equazioni lineari e omogenee, allora si può concludere immediatamente che tale sottoinsieme è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^n, senza fare nient'altro.

    Risposta di Galois
 
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