Per verificare che
è un sottospazio vettoriale di
dobbiamo stabilire se è chiuso rispetto alla somma tra vettori e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare.
Chiusura rispetto alla somma
Presi due generici elementi di
:
dobbiamo dimostrare che la loro somma appartiene a
, ossia che il vettore somma
verifica le due equazioni che definiscono l'insieme.
Partiamo dalla prima
riordiniamo gli elementi come segue
I vettori
e
appartengono a
, quindi entrambi verificano la prima equazione:
di conseguenza
e quindi il vettore somma soddisfa la prima equazione di
.
Passiamo alla seconda
L'appartenenza di
e
all'insieme
garantisce che i due vettori soddisfano la seconda equazione di
, per cui
cosicché
In definitiva il vettore somma verifica entrambe le equazioni dell'insieme, per cui
è chiuso rispetto alla somma.
Chiusura rispetto al prodotto scalare-vettore
è chiuso rispetto prodotto per uno scalare se per ogni
e per ogni
, il vettore
appartiene a
, il che equivale a dire che
ne deve verificare entrambe le equazioni.
Siano, allora,
e
.
L'appartenenza di
a
assicura che:
Vediamo ora se
soddisfa le due equazioni.
Per la prima:
raccogliamo
a fattor comune
per la proprietà (1)
.
Per la seconda:
per la proprietà (2)
.
Il vettore prodotto verifica entrambe le equazioni di
, il che prova la chiusura rispetto al prodotto scalare-vettore.
Per concludere,
è chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto di uno scalare definite in
, e quindi è un suo sottospazio.
Per gli esercizi futuri, è bene tener presente che se un sottoinsieme di
è definito da equazioni lineari e omogenee, allora si può concludere immediatamente che tale sottoinsieme è un sottospazio vettoriale di
, senza fare nient'altro.
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