Verificare che un insieme definito da due equazioni è un sottospazio

Per verificare che

è un sottospazio vettoriale di dobbiamo stabilire se è chiuso rispetto alla somma tra vettori e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare.

Chiusura rispetto alla somma

Presi due generici elementi di :

dobbiamo dimostrare che la loro somma appartiene a , ossia che il vettore somma

verifica le due equazioni che definiscono l'insieme.

Partiamo dalla prima

riordiniamo gli elementi come segue

I vettori e appartengono a , quindi entrambi verificano la prima equazione:

di conseguenza

e quindi il vettore somma soddisfa la prima equazione di .

Passiamo alla seconda

L'appartenenza di e all'insieme garantisce che i due vettori soddisfano la seconda equazione di , per cui

cosicché

In definitiva il vettore somma verifica entrambe le equazioni dell'insieme, per cui è chiuso rispetto alla somma.

Chiusura rispetto al prodotto scalare-vettore

è chiuso rispetto prodotto per uno scalare se per ogni e per ogni , il vettore

appartiene a , il che equivale a dire che ne deve verificare entrambe le equazioni.

Siano, allora, e .

L'appartenenza di a assicura che:

Vediamo ora se soddisfa le due equazioni.

Per la prima:

raccogliamo a fattor comune

per la proprietà (1)

.

Per la seconda:

per la proprietà (2)

.

Il vettore prodotto verifica entrambe le equazioni di , il che prova la chiusura rispetto al prodotto scalare-vettore.

Per concludere, è chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto di uno scalare definite in , e quindi è un suo sottospazio.

Per gli esercizi futuri, è bene tener presente che se un sottoinsieme di è definito da equazioni lineari e omogenee, allora si può concludere immediatamente che tale sottoinsieme è un sottospazio vettoriale di , senza fare nient'altro.