Soluzioni
  • Per verificare che

    S = (x,y,z) ∈ R^3 | 2x-y-z = 0, x+2y+2z = 0

    è un sottospazio vettoriale di R^3 dobbiamo stabilire se è chiuso rispetto alla somma tra vettori e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare.

    Chiusura rispetto alla somma

    Presi due generici elementi di S:

    (x_1,y_1,z_1) ; (x_2,y_2,z_2)

    dobbiamo dimostrare che la loro somma appartiene a S, ossia che il vettore somma

    (x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)

    verifica le due equazioni che definiscono l'insieme.

    Partiamo dalla prima

     2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)-(z_1+z_2) = 2x_1+2x_2-y_1-y_2-z_1-z_2

    riordiniamo gli elementi come segue

    = (2x_1-y_1-z_1)+(2x_2-y_2-z_2)

    I vettori (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) appartengono a S, quindi entrambi verificano la prima equazione:

     2x_1-y_1-z_1 = 0 ; 2x_2-y_2-z_2 = 0

    di conseguenza

    (2x_1-y_1-z_1)+(2x_2-y_2-z_2) = 0+0 = 0

    e quindi il vettore somma soddisfa la prima equazione di S.

    Passiamo alla seconda

     (x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+2(z_1+z_2) = x_1+x_2+2y_1+2y_2+2z_1+2z_2 = (x_1+2y_1+2z_1)+(x_2+2y_2+2z_2)

    L'appartenenza di (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) all'insieme S garantisce che i due vettori soddisfano la seconda equazione di S, per cui

     x_1+2y_1+2z_1 = 0 ; x_2+2y_2+2z_2 = 0

    cosicché

    (x_1+2y_1+2z_1)+(x_2+2y_2+2z_2) = 0+0 = 0

    In definitiva il vettore somma verifica entrambe le equazioni dell'insieme, per cui S è chiuso rispetto alla somma.

    Chiusura rispetto al prodotto scalare-vettore

    S è chiuso rispetto prodotto per uno scalare se per ogni (x,y,z) ∈ S e per ogni λ ∈ R, il vettore

    λ(x,y,z) = (λ x, λ y, λ z)

    appartiene a S, il che equivale a dire che (λ x, λ y, λ z) ne deve verificare entrambe le equazioni.

    Siano, allora, (x,y,z) ∈ S e λ ∈ R.

    L'appartenenza di (x,y,z) a S assicura che:

     2x-y-z = 0 (1) ; x+2y+2z = 0 (2)

    Vediamo ora se (λ x, λ y, λ z) soddisfa le due equazioni.

    Per la prima:

    2(λ x)-(λ y)-(λ z) = 2λ x-λ y-λ z =

    raccogliamo λ a fattor comune

    = λ(2x-y-z) =

    per la proprietà (1)

    = λ 0 = 0.

    Per la seconda:

     λ x+2(λ y)+2(λ z) = λ x+2λ y+2 λ z = λ(x+2y+2z) =

    per la proprietà (2)

    λ 0 = 0.

    Il vettore prodotto verifica entrambe le equazioni di S, il che prova la chiusura rispetto al prodotto scalare-vettore.

    Per concludere, S è chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto di uno scalare definite in R^3, e quindi è un suo sottospazio.

    Per gli esercizi futuri, è bene tener presente che se un sottoinsieme di R^n è definito da equazioni lineari e omogenee, allora si può concludere immediatamente che tale sottoinsieme è un sottospazio vettoriale di R^n, senza fare nient'altro.

    Risposta di Galois
 
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