Soluzioni
  • Ciao Turdacò, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Se la serie è

    \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{5^{2n+1}}{(2n+1)!}

    per vedere che converge è sufficiente applicare il criterio di Leibniz: infatti il termine

    \frac{5^{2n+1}}{(2n+1)!}

    è definitivamente decrescente.

    In alternativa, puoi ricorrere al criterio della radice, applicato naturalmente alla successione dei termini in modulo (per la verifica della convergenza assoluta).

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Perchè è infinitesima e perchè decresce?

    Risposta di Turdacò
  • In effetti l'ho dato per scontato, anche se potrebbe benissimo non esserlo...

    Per quanto riguarda il fatto che il modulo del termine generale è un infinitesimo, basta osservare che il fattoriale è un infinito di ordine ben superiore all'esponenziale.

    Prova a leggere:

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/limiti-continuita-e-asintoti/157-confronto-tra-infiniti-e-ordini-di-infinito.html

    si parla degli ordini di infinito nel caso delle funzioni, ma il discorso si adatta perfettamente al caso delle successioni.

    Per vedere invece che la successione è definitivamente monotona decrescente, è sufficiente ragionare sugli ordini di infinito e sulla monotonia delle funzioni che sono presenti a numeratore e a denominatore. In alternativa, basta osservare che 

    |a_{n}|\geq |a_{n+1}|

    infatti

    \frac{5^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}=\frac{5^{2n+3}}{(2n+3)!}=a_{n}\frac{5^{2}}{(2n+3)(2n+2)}

    dove il fattore di destra è definitivamente minore di 1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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