Soluzioni
  • L'equazione lineare goniometrica

    \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1

    può essere risolta con il metodo dell'angolo aggiunto, che prevede di determinare un numero reale positivo R e un angolo \phi\in[0,2\pi) tali che:

    \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=R\sin\left(x+\frac{\pi}{3}+\phi\right)

    In generale un'espressione goniometrica del tipo

    A\sin(t)+B\cos(t)

    con A,B non entrambi nulli, può essere sempre riscritta nella forma R\sin\left(t+\phi\right) dove R si ricava con la formula

    R=\sqrt{A^2+B^2}

    mentre \phi è l'unico angolo di [0,2\pi) che soddisfa il sistema

    \begin{cases}\cos(\phi)=\dfrac{A}{R}\\ \\ \sin(\phi)=\dfrac{B}{R}\end{cases}

    Nel caso in esame i coefficienti di seno e coseno valgono rispettivamente

    A=1 \ \ \ ; \ \ \ B=1

    perciò il numero reale R è:

    R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

    L'angolo \phi\in[0,2\pi) deve soddisfare il sistema goniometrico

    \begin{cases}\cos(\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin(\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases} \ \ \to \ \ \phi=\frac{\pi}{4}

    Abbiamo quindi scoperto che R=\sqrt{2}, \phi=\frac{\pi}{4}: è grazie a questi valori che possiamo scrivere l'uguaglianza

    \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)

    sfruttando la quale, l'equazione

    \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1

    si tramuta nell'equazione goniometrica elementare

    \\ \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=1 \\ \\ \\ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

    Ricordiamo che il seno di un angolo è uguale a \frac{1}{\sqrt{2}} se e solo se l'angolo coincide con \frac{\pi}{4}+2k\pi oppure con \frac{3\pi}{4}+2k\pi con k\in\mathbb{Z}, di conseguenza l'equazione in seno si spezza nelle seguenti

    \\ x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi; \\ \\ \\ x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}+2k\pi

    da cui

    x=\frac{\pi}{6}+2k\pi

    al variare di k\in\mathbb{Z}.

    In definitiva, l'equazione

    \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1

    è soddisfatta dalle seguenti famiglie di valori

    x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ ; \ \ \ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi

    al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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