Limite fratto da calcolare da destra e sinistra

Question

Devo calcolare il limite di un prodotto tra una funzione radice e una funzione esponenziale con esponente fratto, ma non so come procedere. lim_(x → 0)[5]√(x)e^(-(1)/(x)) Potreste aiutarmi per favore? Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per analizzare il limite lim_(x → 0)[5]√(x)e^(-(1)/(x)) è necessario studiare il limite destro e il limite sinistro perché quando x → 0 il denominatore dell'esponente della funzione esponenziale è un infinitesimo. Iniziamo con il calcolo del limite destro lim_(x → 0^(+))[5]√(x)e^(-(1)/(x)) = che grazie alla definizione di potenza con esponente negativo si esprime nella forma equivalente = lim_(x → 0^(+))([5]√(x))/(e^((1)/(x))) Già siamo in grado di dedurre il risultato perché quando x → 0^(+) il termine fratto diverge positivamente (1)/(x) → +∞ così come diverge positivamente e^((1)/(x)). Mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi concludiamo pertanto che lim_(x → 0^(+))([5]√(x))/(e^((1)/(x))) = [(0)/(+∞)] = 0 Il limite sinistro lim_(x → 0^(-))([5]√(x))/(e^((1)/(x))) richiede invece un'attenzione maggiore. Poiché x → 0^(-) il termine fratto (1)/(x) diverge negativamente e di conseguenza il termine esponenziale è infinitesimo. Ciò ci assicura che il limite si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)] che possiamo risolvere agilmente mediante il confronto tra infinitesimi: il radicale genera un infinitesimo di ordine inferiore rispetto all'infinitesimo generato dal termine esponenziale. Possiamo pertanto concludere che il limite sinistro è-∞ lim_(x → 0^(-))([5]√(x))/(e^((1)/(x))) = -∞ Poiché il limite destro e il limite sinistro sono differenti allora possiamo concludere che il limite bilatero non esiste.