Soluzioni
  • Per analizzare il limite

    \lim_{x\to 0}\sqrt[5]{x}e^{-\frac{1}{x}}

    è necessario studiare il limite destro e il limite sinistro perché quando x\to 0 il denominatore dell'esponente della funzione esponenziale è un infinitesimo.

    Iniziamo con il calcolo del limite destro

    \lim_{x\to 0^{+}}\sqrt[5]{x}e^{-\frac{1}{x}}=

    che grazie alla definizione di potenza con esponente negativo si esprime nella forma equivalente

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt[5]{x}}{e^{\frac{1}{x}}}

    Già siamo in grado di dedurre il risultato perché quando x\to 0^{+} il termine fratto diverge positivamente

    \frac{1}{x}\to +\infty

    così come diverge positivamente e^{\frac{1}{x}}. Mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi concludiamo pertanto che

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt[5]{x}}{e^{\frac{1}{x}}}=\left[\frac{0}{+\infty}\right]=0

    Il limite sinistro

    \lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt[5]{x}}{e^{\frac{1}{x}}} 

    richiede invece un'attenzione maggiore. Poiché x\to 0^{-} il termine fratto \frac{1}{x} diverge negativamente e di conseguenza il termine esponenziale è infinitesimo.

    Ciò ci assicura che il limite si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere agilmente mediante il confronto tra infinitesimi: il radicale genera un infinitesimo di ordine inferiore rispetto all'infinitesimo generato dal termine esponenziale.

    Possiamo pertanto concludere che il limite sinistro è -\infty

    \lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt[5]{x}}{e^{\frac{1}{x}}}=-\infty

    Poiché il limite destro e il limite sinistro sono differenti allora possiamo concludere che il limite bilatero non esiste.

    Risposta di Ifrit
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