Soluzioni
  • Il testo propone un'equazione esponenziale e sebbene sia parametrica, il procedimento risolutivo ricalca pedissequamente quello generale.

    Consideriamo

    [a^{2x}]^3=a^{x^2}

    dove a è un qualsiasi numero reale positivo. Per poter ricavare le soluzioni dell'equazione, basta applicare le opportune proprietà delle potenze così da ottenere un'uguaglianza tra due esponenziali aventi la medesima base.

    Essendo il primo membro una potenza di una potenza, esso è uguale alla base elevata al prodotto degli esponenti

    a^{2x\cdot 3}=a^{x^2}\ \ \ \to \ \ \ a^{6x}=a^{x^2}

    Sono bastati due semplici passaggi per ricondurre l'equazione in qualcosa di notevole: un'uguaglianza di due potenze con la medesima base.

    Se a=1, l'equazione si riduce all'identità

    1=1\ \ \ \mbox{per ogni }x\in\mathbb{R}

    mentre se a\ne 1 possiamo uguagliare gli esponenti e ricavare l'equazione di secondo grado

    6x=x^2 \ \ \ \to \ \ \ x^2-6x=0

    Proprio perché siamo di fronte a un'equazione spuria, procederemo con il raccoglimento totale invece della comunque valida formula del discriminante

    x(x-6)=0

    Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Consideriamo quindi le due equazioni

    x=0 \ \ \ \vee \ \ \  x-6=0

    La prima è già soddisfatta, mentre la seconda è di facile risoluzione: basta infatti isolare l'incognita al primo membro per ricavare

    x=6

    L'equazione è risolta. Non ci resta che scrivere per bene le conclusioni:

    - se a=1, l'equazione è un'identità, soddisfatta per ogni x;

    - se a>0\ \ \mbox{e}\ \ a\ne 1, l'equazione ammette due soluzioni distinte

    x=0 \ \ \vee \ \ x=6

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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