Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione nel campo complesso

    Im\left(\frac{3}{z}\right)+\frac{3}{Re(iz)}=\frac{11}{|z|^2}

    è sufficiente porre z=x+iy, \ \mbox{con} \ x, \ y\in\mathbb{R} e calcolare i singoli termini. Iniziamo dal rapporto di numeri complessi, che si determina moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore che nel caso in esame è \overline{z}=x-iy

    \frac{3}{z}=\frac{3}{x+i y}=\frac{3(x-iy)}{(x+i y)(x-iy)}=\frac{3x-3y i}{x^2+y^2}=

    Per esplicitare la parte immaginaria, distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    =\frac{3x}{x^2+y^2}+i\cdot\frac{-3y}{x^2+y^2}

    Deduciamo pertanto che la parte immaginaria di \frac{3}{z} è

    Im\left(\frac{3}{z}\right)=-\frac{3y}{x^2+y^2} \ \ \forall x, \ y\in\mathbb{R}-\{0\}

    Concentriamoci sul termine Re(iz) che restituisce la parte reale del numero complesso

    iz=i(x+iy)=ix+i^2 y= -y+ix \ \ \forall x, \ y\in\mathbb{R}

    pertanto Re(iz)=-y e quindi

    \frac{3}{Re(iz)}=-\frac{3}{y}

    Infine calcoliamo il termine |z|, ossia il modulo di z mediante la relazione

    |z|=\sqrt{x^2+y^2}

    il cui quadrato è

    |z|^2=x^2+y^2

    Grazie a tale valore possiamo esplicitare il termine \frac{11}{|z|^2}

    \frac{11}{|z|^2}=\frac{11}{x^2+y^2}

    Con i termini a disposizione, possiamo riscrivere l'equazione di partenza come l'equazione in due incognite

    -\frac{3y}{x^2+y^2}-\frac{3}{y}=\frac{11}{x^2+y^2}

    Prima di effettuare altri passaggi imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i vari denominatori siano differenti da 0:

    x^2+y^2\ne 0

    ha per unica soluzione x=0\wedge y=0 giacché al primo membro compare una somma di quantità non negative che è zero nel momento in cui entrambi gli addendi sono nulli. La condizione

    y\ne 0

    indica che dobbiamo escludere tutti i numeri complessi che hanno parte immaginaria nulla.

    Bene, ora che le condizioni di esistenza sono imposte, possiamo continuare con la risoluzione portando i termini a denominatore comune

    \frac{-3y^2-3(x^2+y^2)}{y(x^2+y^2)}=\frac{11y}{y(x^2+y^2)}

    e, una volta semplificati i denominatori, otteniamo l'equazione

    -3y^2-3x^2-3y^2=11y\to -3x^2-6y^2-11y=0\to 3x^2+6y^2+11y=0

    che nel piano complesso rappresenta un'ellisse di centro C\left(0, -\frac{11}{12}\right), semiasse maggiore di lunghezza \frac{11}{6\sqrt{2}} e semiasse minore di lunghezza \frac{11}{12}.

    Attenzione, dobbiamo escludere il punto x=0\wedge y=0 per via delle condizioni d'esistenza.

    Risposta di Ifrit
 
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