Soluzioni
  • Il dominio della funzione

    f(x) = √(ln(x^2-5x+6))

    è dettato dalle seguenti condizioni: dobbiamo imporre la non negatività dell'argomento della radice quadrata e la positività dell'argomento del logaritmo.

    I due vincoli devono valere contemporaneamente, ecco perché costruiamo il sistema di disequazioni:

    ln(x^2-5x+6) ≥ 0 ; x^2-5x+6 > 0

    Risolviamo la disequazione di secondo grado

    x^2-5x+6 > 0

    il cui discriminante associato vale

    Δ = b^2-4ac = 25-24 = 1

    Le soluzioni dell'equazione associata sono di conseguenza

    x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (5±1)/(2) → x_1 = 2, x_2 = 3

    Poiché il delta è positivo e il coefficiente di x^2 pure possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per valori esterni

    x < 2 ∨ x > 3

    Consideriamo la disequazione logaritmica

    ln(x^2-5x+6) ≥ 0

    e applichiamo l'esponenziale ai due membri così da ricavare la disequazione equivalente

    x^2-5x+6 ≥ 1 → x^2-5x+5 ≥ 0

    Il discriminante associato si ricava mediante la relazione

    Δ = b^2-4ac = 25-20 = 5

    pertanto le soluzioni dell'equazione associata sono

    x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (5±√(5))/(2)

    Poiché sia Δ sia coefficiente di x^2 sono positivi possiamo asserire che la disequazione è soddisfatta per valori esterni, cioè

    x ≤ (5-√(5))/(2) ∨ x ≥ (5+√(5))/(2)

    Non ci resta che intersecare gli insiemi trovati per concludere che il dominio della funzione è

    Dom(f) = (-∞, (5-√(5))/(2)] U [(5+√(5))/(2),+∞)

    È tutto.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica