Insieme di definizione con radice e logaritmo

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Come si ricava il dominio di una funzione con la radice di un logaritmo? Nonostante io abbia impostato tutto il problema secondo la teoria, non ottengo il risultato proposto dal libro ecco perché chiedo il vostro aiuto.

 

Determinare il dominio della funzione

 

f(x)=\sqrt{\ln(x^2-5x+6)}

Domanda di knowledge

 
Soluzioni

  • Il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{\ln(x^2-5x+6)}

    è dettato dalle seguenti condizioni: dobbiamo imporre la non negatività dell'argomento della radice quadrata e la positività dell'argomento del logaritmo.

    I due vincoli devono valere contemporaneamente, ecco perché costruiamo il sistema di disequazioni:

    \begin{cases}\ln(x^2-5x+6)\ge 0\\ \\ x^2-5x+6>0\end{cases}

    Risolviamo la disequazione di secondo grado

    x^2-5x+6>0

    il cui discriminante associato vale

    \Delta=b^2-4ac= 25-24=1

    Le soluzioni dell'equazione associata sono di conseguenza

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \ \to \ x_1= 2, \ x_2=3

    Poiché il delta è positivo e il coefficiente di x^2 pure possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per valori esterni

    x<2 \ \vee \ x>3

    Consideriamo la disequazione logaritmica

    \ln(x^2-5x+6)\ge 0

    e applichiamo l'esponenziale ai due membri così da ricavare la disequazione equivalente

    x^2-5x+6\ge 1 \ \to \ x^2-5x+5\ge 0

    Il discriminante associato si ricava mediante la relazione

    \Delta=b^2-4ac= 25-20=5

    pertanto le soluzioni dell'equazione associata sono

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}

    Poiché sia \Delta sia coefficiente di x^2 sono positivi possiamo asserire che la disequazione è soddisfatta per valori esterni, cioè

    x\le \frac{5-\sqrt{5}}{2} \ \vee \ x\ge \frac{5+\sqrt{5}}{2}

    Non ci resta che intersecare gli insiemi trovati per concludere che il dominio della funzione è

    Dom(f)=\left(-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2}\right]\ \cup \ \left[\frac{5+\sqrt{5}}{2}, +\infty\right)

    È tutto.

    Risposta di Ifrit
 
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