Soluzioni
  • Il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{\ln(x^2-5x+6)}

    è dettato dalle seguenti condizioni: dobbiamo imporre la non negatività dell'argomento della radice quadrata e la positività dell'argomento del logaritmo.

    I due vincoli devono valere contemporaneamente, ecco perché costruiamo il sistema di disequazioni:

    \begin{cases}\ln(x^2-5x+6)\ge 0\\ \\ x^2-5x+6>0\end{cases}

    Risolviamo la disequazione di secondo grado

    x^2-5x+6>0

    il cui discriminante associato vale

    \Delta=b^2-4ac= 25-24=1

    Le soluzioni dell'equazione associata sono di conseguenza

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \ \to \ x_1= 2, \ x_2=3

    Poiché il delta è positivo e il coefficiente di x^2 pure possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per valori esterni

    x<2 \ \vee \ x>3

    Consideriamo la disequazione logaritmica

    \ln(x^2-5x+6)\ge 0

    e applichiamo l'esponenziale ai due membri così da ricavare la disequazione equivalente

    x^2-5x+6\ge 1 \ \to \ x^2-5x+5\ge 0

    Il discriminante associato si ricava mediante la relazione

    \Delta=b^2-4ac= 25-20=5

    pertanto le soluzioni dell'equazione associata sono

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}

    Poiché sia \Delta sia coefficiente di x^2 sono positivi possiamo asserire che la disequazione è soddisfatta per valori esterni, cioè

    x\le \frac{5-\sqrt{5}}{2} \ \vee \ x\ge \frac{5+\sqrt{5}}{2}

    Non ci resta che intersecare gli insiemi trovati per concludere che il dominio della funzione è

    Dom(f)=\left(-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2}\right]\ \cup \ \left[\frac{5+\sqrt{5}}{2}, +\infty\right)

    È tutto.

    Risposta di Ifrit
 
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