Prima di dedicarci al problema, riportiamo le definizioni e i risultati teorici che ci serviranno.
Il punto medio di un segmento di estremi
è il punto
del segmento tale per cui
: in altri termini
spezza
in due segmenti congruenti.
La mediana di un lato di un triangolo è il segmento condotto dal vertice opposto e che divide il lato in due parti congruenti.
Interverranno inoltre:
- il teorema di Talete, il quale asserisce che un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali individuano su di esse due famiglie di segmenti direttamente proporzionali.
- il teorema inverso del teorema di Talete, secondo cui se segmenti compresi fra rette tagliate da due trasversali formano due insiemi di segmenti proporzionali e se sono parallele due rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti, allora anche le altre rette sono parallele alle prime due.
- il secondo criterio di similitudine dei triangoli, in base al quale due triangoli sono simili se hanno una coppia di lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente.
Risoluzione del problema
Facciamo riferimento all'immagine
e scriviamo per bene i dati del problema. Sappiamo per certo che
è il punto medio di
, pertanto
sono segmenti congruenti
Inoltre
è la mediana di
, di conseguenza
spezza
in due segmenti congruenti
Per il teorema inverso del teorema di Talete
è parallelo a
perché il primo segmento congiunge i punti medi dei lati
, rispettivamente. Questo garantisce anche che
è parallelo al segmento
, perché quest'ultimo è il prolungamento di
, per cui
è un parallelogramma e quindi
.
Per il teorema di Talete, inoltre
è direttamente proporzionale ad
e in particolare:
dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che
: segue pertanto che
.
Per il secondo criterio di similitudine dei triangoli, il triangolo
e
sono simili, infatti hanno un angolo in comune,
, e inoltre
e
sono coppie di lati proporzionali con costante di proporzionalità
. Alla luce di ciò, anche i lati
e
e il loro rapporto è pari a
da cui
Abbiamo finalmente tutte le informazioni per concludere l'esercizio: poiché
e
, allora
che è quello che volevamo dimostrare.
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