Dimostrazione in un problema di Geometria Piana

Prima di dedicarci al problema, riportiamo le definizioni e i risultati teorici che ci serviranno.

Il punto medio di un segmento di estremi è il punto del segmento tale per cui : in altri termini spezza in due segmenti congruenti.

La mediana di un lato di un triangolo è il segmento condotto dal vertice opposto e che divide il lato in due parti congruenti.

Interverranno inoltre:

- il teorema di Talete, il quale asserisce che un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali individuano su di esse due famiglie di segmenti direttamente proporzionali.

- il teorema inverso del teorema di Talete, secondo cui se segmenti compresi fra rette tagliate da due trasversali formano due insiemi di segmenti proporzionali e se sono parallele due rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti, allora anche le altre rette sono parallele alle prime due.

- il secondo criterio di similitudine dei triangoli, in base al quale due triangoli sono simili se hanno una coppia di lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente.

Risoluzione del problema

Facciamo riferimento all'immagine

e scriviamo per bene i dati del problema. Sappiamo per certo che è il punto medio di , pertanto sono segmenti congruenti

Inoltre è la mediana di , di conseguenza spezza in due segmenti congruenti

Per il teorema inverso del teorema di Talete è parallelo a perché il primo segmento congiunge i punti medi dei lati , rispettivamente. Questo garantisce anche che è parallelo al segmento , perché quest'ultimo è il prolungamento di , per cui è un parallelogramma e quindi .

Per il teorema di Talete, inoltre è direttamente proporzionale ad e in particolare:

dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che : segue pertanto che .

Per il secondo criterio di similitudine dei triangoli, il triangolo e sono simili, infatti hanno un angolo in comune, , e inoltre e sono coppie di lati proporzionali con costante di proporzionalità . Alla luce di ciò, anche i lati e e il loro rapporto è pari a

da cui

Abbiamo finalmente tutte le informazioni per concludere l'esercizio: poiché e , allora

che è quello che volevamo dimostrare.