Dimostrazione in un problema di Geometria Piana
Mi è capitato un problema di geometria descrittiva sul teorema di Talete e suo inverso che non so portare a termine. All'inizio pensavo che fosse un problema nella traccia, ma il mio insegnante mi ha garantito che è corretta. Potreste darmi una mano?
Dato un triangolo 
, sia 
il punto medio del lato 
. Traccia per la parallela 
alla mediana 
. Chiama 
i punti di intersezione di con 
e 
. Dimostra che 
.
Grazie.
Prima di dedicarci al problema, riportiamo le definizioni e i risultati teorici che ci serviranno.
Il punto medio di un segmento di estremi 
è il punto del segmento tale per cui 
: in altri termini spezza in due segmenti congruenti.
La mediana di un lato di un triangolo è il segmento condotto dal vertice opposto e che divide il lato in due parti congruenti.
Interverranno inoltre:
- il teorema di Talete, il quale asserisce che un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali individuano su di esse due famiglie di segmenti direttamente proporzionali.
- il teorema inverso del teorema di Talete, secondo cui se segmenti compresi fra rette tagliate da due trasversali formano due insiemi di segmenti proporzionali e se sono parallele due rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti, allora anche le altre rette sono parallele alle prime due.
- il secondo criterio di similitudine dei triangoli, in base al quale due triangoli sono simili se hanno una coppia di lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente.
Risoluzione del problema
Facciamo riferimento all'immagine
e scriviamo per bene i dati del problema. Sappiamo per certo che è il punto medio di , pertanto 
sono segmenti congruenti
Inoltre è la mediana di , di conseguenza 
spezza in due segmenti congruenti
Per il teorema inverso del teorema di Talete 
è parallelo a perché il primo segmento congiunge i punti medi dei lati 
, rispettivamente. Questo garantisce anche che è parallelo al segmento 
, perché quest'ultimo è il prolungamento di , per cui 
è un parallelogramma e quindi 
.
Per il teorema di Talete, inoltre 
è direttamente proporzionale ad e in particolare:
dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che 
: segue pertanto che 
.
Per il secondo criterio di similitudine dei triangoli, il triangolo 
e 
sono simili, infatti hanno un angolo in comune, 
, e inoltre 
e 
sono coppie di lati proporzionali con costante di proporzionalità 
. Alla luce di ciò, anche i lati e e il loro rapporto è pari a
da cui
Abbiamo finalmente tutte le informazioni per concludere l'esercizio: poiché e , allora
che è quello che volevamo dimostrare.
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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