Soluzioni
  • Prima di dedicarci al problema, riportiamo le definizioni e i risultati teorici che ci serviranno.

    Il punto medio di un segmento di estremi A\ \mbox{e} \ B è il punto M del segmento tale per cui AM=MB: in altri termini M spezza AB in due segmenti congruenti.

    La mediana di un lato di un triangolo è il segmento condotto dal vertice opposto e che divide il lato in due parti congruenti.

    Interverranno inoltre:

    - il teorema di Talete, il quale asserisce che un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali individuano su di esse due famiglie di segmenti direttamente proporzionali.

    - il teorema inverso del teorema di Talete, secondo cui se segmenti compresi fra rette tagliate da due trasversali formano due insiemi di segmenti proporzionali e se sono parallele due rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti, allora anche le altre rette sono parallele alle prime due.

    - il secondo criterio di similitudine dei triangoli, in base al quale due triangoli sono simili se hanno una coppia di lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente.

    Risoluzione del problema

    Facciamo riferimento all'immagine

     

    Dimostrazione in un problema di Geometria Piana

     

    e scriviamo per bene i dati del problema. Sappiamo per certo che M è il punto medio di AB, pertanto AM\ \mbox{e} \ MB sono segmenti congruenti

    AM=MB

    Inoltre AD è la mediana di BC, di conseguenza D spezza BC in due segmenti congruenti

    BD=DC

    Per il teorema inverso del teorema di Talete MD è parallelo a AC perché il primo segmento congiunge i punti medi dei lati AB\ \mbox{e}\ BC, rispettivamente. Questo garantisce anche che MD è parallelo al segmento RA, perché quest'ultimo è il prolungamento di AC, per cui RMDA è un parallelogramma e quindi RM= AD.

    Per il teorema di Talete, inoltre MT è direttamente proporzionale ad AD e in particolare:

    \frac{BT}{BD}=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{2}

    dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che AB=2AM: segue pertanto che 2BT=BD.

    Per il secondo criterio di similitudine dei triangoli, il triangolo MBT e ABD sono simili, infatti hanno un angolo in comune, \widehat{B}, e inoltre BT, \ BD e BM, AB sono coppie di lati proporzionali con costante di proporzionalità \frac{1}{2}. Alla luce di ciò, anche i lati MT e AD e il loro rapporto è pari a \frac{1}{2}

    \frac{MT}{AD}=\frac{1}{2}

    da cui

    MT=\frac{1}{2}AD

    Abbiamo finalmente tutte le informazioni per concludere l'esercizio: poiché RM=AD e MT=\frac{1}{2}AD, allora

    RT=RM+MT=AD+\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}AD

    che è quello che volevamo dimostrare.

    Risposta di Ifrit
 
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