Equazione con modulo della variabile complessa

C'è un'equazione con potenze e modulo di un numero complesso che non riesco a svolgere, me la spiegate voi per favore?

z^3=|z|^2

Domanda di 904
Soluzione

Per risolvere l'equazione dobbiamo scrivere z nella forma

z=x+iy

e sostituire. Troviamo

(x+iy)3=|z|2

cioè

x3+i3x2y-3xy2-iy3=x2+y2

La riconduciamo a un sistema di due equazioni confrontando parte reale e parte immaginaria:

x3=3xy2+x2+y2

3x2y-y3=0     cioè y(3x2-y2)= 0      cioè y=0, y=±√(3)x

sostituiamo tali valori nella prima equazione, trovando le coppie

(x,y)= (0,0), (1,0) quando sostituisci y=0 nella prima (ti verrebbe anche x=-1 ma queta soluzione la devi scartare perchè il modulo al quadrato è una quantità positiva e non può essere uguale a una quantità negativa)

(x,y)= (-1/2 , -√(3)/2) , (-1/2 , √(3)/2) quando sostituisci y=±√(3)x

Dunque le soluzioni sono

z=0

z=1

z= -1/2 -i√(3)/2

z= -1/2 +i√(3)/2

Namasté - Agente Ω

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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