Equazione con modulo della variabile complessa

Per risolvere l'equazione dobbiamo scrivere z nella forma

z=x+iy

e sostituire. Troviamo

(x+iy)³=|z|²

cioè

x³+i3x²y-3xy²-iy³=x²+y²

La riconduciamo a un sistema di due equazioni confrontando parte reale e parte immaginaria:

x³=3xy²+x²+y²

3x²y-y³=0     cioè y(3x²-y²)= 0      cioè y=0, y=±√(3)x

sostituiamo tali valori nella prima equazione, trovando le coppie

(x,y)= (0,0), (1,0) quando sostituisci y=0 nella prima (ti verrebbe anche x=-1 ma queta soluzione la devi scartare perchè il modulo al quadrato è una quantità positiva e non può essere uguale a una quantità negativa)

(x,y)= (-1/2 , -√(3)/2) , (-1/2 , √(3)/2) quando sostituisci y=±√(3)x

Dunque le soluzioni sono

z=0

z=1

z= -1/2 -i√(3)/2

z= -1/2 +i√(3)/2

Namasté - Agente Ω