Equazione con modulo della variabile complessa
C'è un'equazione con potenze e modulo di un numero complesso che non riesco a svolgere, me la spiegate voi per favore?
z^3=|z|^2
Per risolvere l'equazione dobbiamo scrivere z nella forma
z=x+iy
e sostituire. Troviamo
(x+iy)3=|z|2
cioè
x3+i3x2y-3xy2-iy3=x2+y2
La riconduciamo a un sistema di due equazioni confrontando parte reale e parte immaginaria:
x3=3xy2+x2+y2
3x2y-y3=0 cioè y(3x2-y2)= 0 cioè y=0, y=±√(3)x
sostituiamo tali valori nella prima equazione, trovando le coppie
(x,y)= (0,0), (1,0) quando sostituisci y=0 nella prima (ti verrebbe anche x=-1 ma queta soluzione la devi scartare perchè il modulo al quadrato è una quantità positiva e non può essere uguale a una quantità negativa)
(x,y)= (-1/2 , -√(3)/2) , (-1/2 , √(3)/2) quando sostituisci y=±√(3)x
Dunque le soluzioni sono
z=0
z=1
z= -1/2 -i√(3)/2
z= -1/2 +i√(3)/2
Namasté - Agente Ω
Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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