Soluzioni
  • Ciao Diecidisera :)

    Poiché abbiamo a che fare con un triangolo isoscele il vertice Q (quello di cui dobbiamo trovare le coordinate) appartiene all'asse del segmento CP, ovvero appartiene alla retta perpendicolare al segmento CP e passante per il suo punto medio M. 

    Questo disegnino aiuta a schiarirci le idee

     

    Problema con fascio di rette e triangolo isoscele

    Troviamo quindi le coordinate del punto medio M del segmento CP. Essendo note le coordinate dei punti

    C\left(\frac{7}{5}, -\frac{4}{5} \right) \ \mbox{e} \ P(5,1)

    abbiamo che:

    x_M=\frac{x_C+x_P}{2}=\frac{16}{5}

    y_M=\frac{y_C+y_P}{2}=\frac{1}{10}

    Possiamo a questo punto trovare l'equazione dell'asse del segmento CP come retta per il punto M e perpendicolare alla retta CP.

    Il coefficiente angolare della retta per i punti P e C è dato da:

    m_{CP}=\frac{y_P-y_C}{x_P-x_C}=\frac{1}{2}

    e quindi l'equazione dell'asse, applicando la condizione di perpendicolarità tra rette sarà:

    y-y_M=-\frac{1}{m_{CP}}(x-x_M)

    ovvero dopo qualche (immediato) conticino

    20x+10y-65=0

    Semplificando per 5:

    4x+2y-13=0

    Scrivendola in forma esplicita

    y=-2x+\frac{13}{2}

     

    Poiché, come abbiamo detto, il punto

    Q(x_Q, y_Q)

    deve appartenere all'asse, le sue coordinate ne devono soddisfare le equazione, ovvero

    Q \left(x_Q, \ -2x_Q+\frac{13}{2} \right)

     

    Per concludere l'esercizio dobbiamo trovare il valore di xQ.

    L'altro dato che il problema ci fornisce è l'area del triangolo isoscele. Applicando quindi la formula per l'area del triangolo abbiamo:

    \frac{QM \cdot CP}{2}=\frac{441}{40}, \ \mbox{ovvero} \ QM \cdot CP = \frac{441}{20}

    da cui

    QM=\frac{441}{20} \cdot \frac{1}{CP}

    La misura del segmento CP la possiamo trovare applicando la formula della distanza tra due punti:

    CP=\sqrt{(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2}=\mbox{...conti...}=\frac{9}{\sqrt{5}}

    Abbiamo quindi che

    QM=\frac{441}{20} \cdot \frac{\sqrt{5}}{9} = \frac{49}{20}\sqrt{5}

     

    Per trovare il valore di xQ ci basta imporre che la distanza tra i punti

    Q \left(x_Q, \ -2x_Q+\frac{13}{2} \right)

    ed

    M \left(\frac{16}{5}, \frac{1}{10} \right)

    sia uguale al valore precedentemente trovato.

    Ovvero:

    \sqrt{\left(x_Q - x_M \right)^2 + \left(y_Q-y_M\right)^2} = \frac{49}{20}\sqrt{5}

    \sqrt{\left(x_Q - \frac{16}{5} \right)^2 + \left(-2x_Q+\frac{13}{2}-\frac{1}{10}\right)^2} = \frac{49}{20}\sqrt{5}

    Svolgendo i conti vien fuori:

    x_Q=\frac{113}{20} \ \mbox{oppure} \ x_Q=\frac{3}{4}

    Sostituendo al posto di xQ in

    Q \left(x_Q, \ -2x_Q+\frac{13}{2} \right)

    abbiamo

    Q\left(\frac{113}{20}, -\frac{48}{10} \right)

    che non appartiene al primo quadrante (come richiesto dal problema)

    oppure

    Q\left(\frac{3}{4}, 5 \right)

    che, appartenendo al primo quadrante è proprio il punto cercato.

     

    A questo punto, per trovare il valore di k per cui il fascio di rette di equazione:

    (2k+1)x+(3+k)y+1-2k

    individua una retta passante per il punto Q ti basta sostituire, nell'equazione del fascio, le coordinate del punto Q trovate.

    Verrà fuori

    k=-\frac{67}{18}

    ;)

    Risposta di Galois
  • Grazie mille : D

    Risposta di DiecidiSera
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