Soluzioni
  • Procediamo con il teorema degli zeri, il quale asserisce che:

    se f \ : \ [a,b]\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato e assume agli estremi di tale intervallo valori di segno opposto, cioè se

    f(a)\cdot f(b)<0

    allora la funzione ammette almeno uno zero nell'intervallo [a,b], più precisamente esiste c\in[a,b] che realizza l'uguaglianza

    f(c)=0

    Per la verifica, si tratta dunque di determinare un intervallo in cui la funzione

    f(x)=\cos(x)-e^{x}

    risulti continua e le valutazioni di f(x) agli estremi dell'intervallo siano discordi.

    Osserviamo che f(x) è espressa mediante la differenza di due funzioni elementari: la funzione coseno e la funzione esponenziale, entrambe notoriamente funzioni continue sull'intero asse reale. In accordo con l'algebra delle funzioni continue concludiamo immediatamente che f(x) è somma algebrica di funzioni continue.

    Un intervallo in cui sono verificate le ipotesi del teorema degli zeri è

    I=\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]

    infatti f(x) è continua su I e inoltre

    f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)-e^{-\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-e^{-\frac{\pi}{4}}>0

    mentre

    f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-e^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-e^{-\frac{\pi}{4}}<0

    conseguentemente la funzione assume valori discordi agli estremi dell'intervallo I.

    Il teorema degli zeri, o di Bolzano, garantisce pertanto l'esistenza di un punto x_0\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right] tale che f(c)=0 o scritto in altri termini

    f(x_0)=0\iff\cos\left(x_0\right)-e^{x_0}=0\iff \cos(x_0)=e^{x_0}

    Attenzione! Il teorema degli zeri non assicura l'unicità dello zero, ma garantisce solo l'esistenza.

    Osservazione: un occhio sufficientemente allenato potrebbe concludere immediatamente che uno zero della funzione è x_0=0.

    Risposta di Ifrit
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