Soluzioni
  • Ciao Maria Rosaria, chiamiamo f(x) e g(x) le funzioni che costituiscono gli estremi di integrazione dell'integrale interno. Iniziamo da quello

    \int_{f(x)}^{g(x)}(x-5y)dy=\int_{f(x)}^{g(x)}xdy-5\int_{f(x)}^{g(x)}ydy

    stiamo semplicemente usando le proprietà degll'integrale di Riemann :) 

    =[xy]_{f(x)}^{g(y)}-\frac{5}{2}[y^2]_{f(x)}^{g(x)}

    con qualche semplice conto

    =-x^3+x\sqrt{2-x^2}-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}(2-x^2)

    Ora dobbiamo integrare questa funzione della sola x rispetto a x, tra -1 e 1:

    \int_{-1}^{+1}[-x^3+x\sqrt{2-x^2}-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}(2-x^2)dx]=

    =\int_{-1}^{+1}(-x^3)dx+\int_{-1}^{+1}(x\sqrt{2-x^2})dx-\frac{5}{2}\int_{-1}^{+1}x^4dx+\frac{5}{2}\int_{-1}^{+1}(2-x^2)dx

    ci troviamo di fronte ad integrali elementari, a meno del secondo

    \left[-\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{+1}-\frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}(-2x)(2-x^2)^{\frac{1}{2}}dx-\frac{5}{2}\left[\frac{x^5}{5}\right]_{-1}^{+1}+\frac{5}{2}\left[2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{+1}

    I calcolini che restano (le valutazioni delle primitive) li lascio a te, mi concentro giusto sul secondo integrale in cui dobbiamo usare la formula di integrazione per il prodotto funzione-derivata dell'argomento

    -\frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}(-2x)(2-x^2)^{\frac{1}{2}}dx=-\frac{1}{2}\left[\frac{(2-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{-1}^{+1}

    Il risultato dovrebbe essere 22/3, ad ogni modo è pura e semplice meccanica... ;)

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
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