Calcolare un integrale doppio ridotto

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Ragazzi come faccio a calcolare questo integrale doppio ridotto rispetto a dx e dy?

 

∫_(-1)^(+1)∫_(-√(2-x^2))^(-x^2)(x-5y)dydx

 

Aiuto please...alle 14 ho l'esame! :(

Domanda di maria rosaria

 
Soluzioni

  • Ciao Maria Rosaria, chiamiamo f(x) e g(x) le funzioni che costituiscono gli estremi di integrazione dell'integrale interno. Iniziamo da quello

    ∫_(f(x))^(g(x))(x-5y)dy = ∫_(f(x))^(g(x))xdy-5∫_(f(x))^(g(x))ydy

    stiamo semplicemente usando le proprietà degll'integrale di Riemann :) 

    = [xy]_(f(x))^(g(y))-(5)/(2)[y^2]_(f(x))^(g(x))

    con qualche semplice conto

    = -x^3+x√(2-x^2)-(5)/(2)x^4+(5)/(2)(2-x^2)

    Ora dobbiamo integrare questa funzione della sola x rispetto a x, tra -1 e 1:

    ∫_(-1)^(+1)[-x^3+x√(2-x^2)-(5)/(2)x^4+(5)/(2)(2-x^2)dx] =

    = ∫_(-1)^(+1)(-x^3)dx+∫_(-1)^(+1)(x√(2-x^2))dx-(5)/(2)∫_(-1)^(+1)x^4dx+(5)/(2)∫_(-1)^(+1)(2-x^2)dx

    ci troviamo di fronte ad integrali elementari, a meno del secondo

    [-(x^4)/(4)]_(-1)^(+1)-(1)/(2)∫_(-1)^(+1)(-2x)(2-x^2)^((1)/(2))dx-(5)/(2)[(x^5)/(5)]_(-1)^(+1)+(5)/(2)[2x-(x^3)/(3)]_(-1)^(+1)

    I calcolini che restano (le valutazioni delle primitive) li lascio a te, mi concentro giusto sul secondo integrale in cui dobbiamo usare la formula di integrazione per il prodotto funzione-derivata dell'argomento

    -(1)/(2)∫_(-1)^(+1)(-2x)(2-x^2)^((1)/(2))dx = -(1)/(2)[((2-x^2)^((3)/(2)))/((3)/(2))]_(-1)^(+1)

    Il risultato dovrebbe essere 22/3, ad ogni modo è pura e semplice meccanica... ;)

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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