Soluzioni
  • L'espressione disequazione tra costanti non è propriamente corretta. Ricordiamo infatti che una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche in una o più incognite, mentre una costante è un numero, o meglio una grandezza che ha un valore fisso.

    Sarebbe quindi più corretto formulare la domanda nel modo seguente: quando una disequazione si riduce a una disuguaglianza tra costanti, qual è il risultato?

    Una disequazione che si riconduce a una disuguaglianza tra due numeri può essere impossibile oppure indeterminata. Più precisamente, per stabilire se è indeterminata oppure impossibile basta confrontare tra loro le costanti e stabilire se la disuguaglianza è vera oppure falsa:

    • se è vera, la disequazione di partenza è indeterminata ed è verificata per ogni x appartenente all'insieme di esistenza delle soluzioni;

    • se è falsa, la disequazione di partenza è impossibile.

    Esempi di disequazioni che si riducono a disuguaglianze tra costanti

    1) Trovare l'insieme delle soluzioni della disequazione

    x(7+x)+8>9x+x^2-2x+5

    Svolgimento: calcoliamo il prodotto e sommiamo i monomi simili

    7x+x^2+8>7x+x^2+5

    Cancelliamo i termini 7x e x^2 che compaiono sia nel primo che nel secondo membro della disequazione. Possiamo farlo in virtù del primo principio di equivalenza delle disequazioni.

    8>5

    Abbiamo ottenuto una disuguaglianza tra costanti. Poiché 8 è maggiore di 5, la disuguaglianza 8>5 è vera e la disequazione è soddisfatta per qualsiasi valore di x appartenente all'insieme di esistenza delle soluzioni, che in questo caso è l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali. Di conseguenza l'insieme delle soluzioni della disequazione è tutto \mathbb{R}

    S=\mathbb{R}

    2) Risolvere la disequazione

    (x+2)^3 < (x+1)(x^2-x+1)+6x(x+2)

    Svolgimento: sviluppiamo il cubo di binomio e svolgiamo le moltiplicazioni:

    x^3+6x^2+12x+8 < x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 + 6x^2 + 12x

    Sommiamo i termini simili

    x^3+6x^2+12x+8 < x^3 + 1 + 6x^2 + 12x

    Eliminiamo i monomi uguali presenti al primo e al secondo membro e ricaviamo la seguente disuguaglianza tra numeri

    8<1

    che evidentemente è falsa, essendo 8 maggiore di 1.

    Possiamo allora concludere che la disequazione di partenza è impossibile

    S=\emptyset

    ***

    Ora che il tuo dubbio dovrebbe essere chiarito ti invitiamo a dare un'occhiata alle nostre lezioni sulle disequazioni, grazie alle quali potrai fare un ripasso di tutti i tipi di disequazioni e dei relativi metodi di risoluzione.

    Risposta di Galois
 
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