Base di un sottospazio con una equazione

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In questo esercizio di Algebra Lineare devo calcolare una base per un sottospazio dato da un'equazione cartesiana. Vi sarei grato se poteste spiegarmi come fare.

 

Trovare una base del seguente sottospazio

 

S = { (x,y,z,t) appartenete a R^4 : 3x + 6y + z - 5t = 0 }

 

Non ho proprio idea di come fare a impostare e svolgere l'esercizio.

Domanda di matteo

 
Soluzioni

  • Ciao Matteo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Il sottospazio vettoriale di R^4 considerato è definito mediante una sola equazione. Ci aspettiamo dunque che esso abbia dimensione 3.

    S = (x,y,z,t)∈ R^4 : 3x+6y+z-5t = 0

    Assegnando a tre delle quattro variabili il ruolo di parametro (e dunque considerandole come variabili libere), ad esempio

    x = a∈R

    y = b∈R

    t = c∈R

    Possiamo vincolare la terza variabile z trovando

    z = -3a-6b+5c

    Esprimendo quindi la generica soluzione (x,y,z,t) come combinazione lineare:

    (x,y,z,t) = a(1,0,-3,0)+b(0,1,-6,0)+c(0,0,+5,1)

    Abbiamo la conferma che la dimensione del sottospazio è 3 e una base è data da

    (1,0,-3,0),(0,1,-6,0),(0,0,+5,1)

    poiché tali vettori generano il sottospazio e sono linearmente indipendenti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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