Soluzioni
  • Ciao lolloviola arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la funzione:

    f(x):=(3x+e)^{\ln(x^3)}

    e il punto x_0=e

    Ricordiamo che la retta tangente al grafico della funzione nel punto

    x_0\in\mbox{dom}(f)

    è data da:

    y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

    Abbiamo bisogno della derivata prima valutata nel punto x_0=e

    Per determinarla scriviamo la funzione in questo modo:

    f(x)= e^{\ln(x^3)\ln(3x+e)}

     

    deriviamola:

    f'(x)= D[e^{\ln(x^3)\ln(3x+e)}]

    Per la regola di derivazione D[e^{f(x)}]= e^{f(x)}D[f(x)]

    avremo:

    f'(x)= D[e^{\ln(x^3)\ln(3x+e)}]= e^{\ln(x^3)\ln(3x+e)}D[\ln(x^3)\ln(3x+e)]

    Abbiamo un prodotto, pertanto utilizzeremo la regola di derivazione del prodotto:

    =e^{\ln(x^3)\ln(3x+e)}\left(\frac{3x^2\log(3x+e)}{x^3}+\frac{3\ln(x^3)}{3x+e}\right)=

    = (3x+e)^{\ln(x^3)}\left(\frac{3x^2\log(3x+e)}{x^3}+\frac{3\ln(x^3)}{3x+e}\right)

     

    Abbiamo tutti gli ingredienti che ci servono per calcolare la retta tangente:

    f(e)= (3\cdot e +e)^{\ln(e^3)}= (4e)^3

    f'(e)= (4e)^3\left(\frac{3e^2 \log(4e)}{e^3}+\frac{3\ln(e^3)}{4e}\right)=

    (4e)^3\left(\frac{3\ln(4e)}{e}+\frac{9}{4e}\right)

     

    Dunque la retta tangente ha equazione:

    y= (4e)^3 +(4e)^3\left(\frac{3\ln(4e)}{e}+\frac{9}{4e}\right)(x-e)

    Risposta di Ifrit
  • non mi torna la derivata prima, non capisco da dove spunta fuori quell' x^2 ?????

    Risposta di lolloviola
  • 3x^2 è la derivata di x^3.

    In pratica hai che:

    D[\ln(x^3)]= \frac{3x^2}{x^3}= \frac{3}{x}

    Deriva dalla formula di derivazione:

    D[\ln(f(x))]= \frac{f'(x)}{f(x)}

    :P

    Risposta di Ifrit
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