Calcolare l'equazione della retta tangente a una curva

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Ciao a tutti, ho una curva in forma cartesiana e devo calcolare la retta tangente alla curva:

 

y=(3x+e)^(lnx^3) nel punto xo=e.

 

Si potrebbero vedere gentilmente i calcoli insieme, visto che non mi tornano? Grazie!

Domanda di lolloviola

 
Soluzioni

  • Ciao lolloviola arrivo :)

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo la funzione:

    f(x): = (3x+e)^(ln(x^3))

    e il punto x_0 = e

    Ricordiamo che la retta tangente al grafico della funzione nel punto

    x_0∈dom(f)

    è data da:

    y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

    Abbiamo bisogno della derivata prima valutata nel punto x_0 = e. 

    Per determinarla scriviamo la funzione in questo modo:

    f(x) = e^(ln(x^3)ln(3x+e))

     

    deriviamola:

    f'(x) = D[e^(ln(x^3)ln(3x+e))]

    Per la regola di derivazione D[e^(f(x))] = e^(f(x))D[f(x)]

    avremo:

    f'(x) = D[e^(ln(x^3)ln(3x+e))] = e^(ln(x^3)ln(3x+e))D[ln(x^3)ln(3x+e)]

    Abbiamo un prodotto, pertanto utilizzeremo la regola di derivazione del prodotto:

    = e^(ln(x^3)ln(3x+e))((3x^2log(3x+e))/(x^3)+(3ln(x^3))/(3x+e)) =

    = (3x+e)^(ln(x^3))((3x^2log(3x+e))/(x^3)+(3ln(x^3))/(3x+e))

     

    Abbiamo tutti gli ingredienti che ci servono per calcolare la retta tangente:

    f(e) = (3·e+e)^(ln(e^3)) = (4e)^3

    f'(e) = (4e)^3((3e^2 log(4e))/(e^3)+(3ln(e^3))/(4e)) =

    (4e)^3((3ln(4e))/(e)+(9)/(4e))

     

    Dunque la retta tangente ha equazione:

    y = (4e)^3+(4e)^3((3ln(4e))/(e)+(9)/(4e))(x-e)

    Risposta di Ifrit

  • non mi torna la derivata prima, non capisco da dove spunta fuori quell' x^2 ?????

    Risposta di lolloviola

  • 3x^2 è la derivata di x^3.

    In pratica hai che:

    D[ln(x^3)] = (3x^2)/(x^3) = (3)/(x)

    Deriva dalla formula di derivazione:

    D[ln(f(x))] = (f'(x))/(f(x))

    :P

    Risposta di Ifrit
 
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