Soluzioni
  • Per valutare la divergenza/convergenza dell'integrale improprio di seconda specie dobbiamo calcolare

    \int_{0}^{1}(x+1)e^{x}\ln(x)dx=\lim_{m\to 0^{+}}\int_{m}^{1}(x+1)e^{x}\ln(x)dx

    questo perché x=0 rappresenta un punto singolare per la funzione integranda f(x)=(x+1)e^{x}\ln(x) (o se vogliamo un punto di discontinuità di seconda specie).

    Tralasciamo per un momento il limite e, fissato m>0 calcoliamo l'integrale definito che chiamiamo I

    I=\int_{m}^{1}(x+1)e^{x}\ln(x)dx

    A questo punto calcoliamo l'integrale indefinito associato che individua la famiglia di tutte le primitive di f(x):

    \\ \int (x+1)e^{x}\ln(x)dx= \\ \\ \\ =\int(xe^{x}\ln(x)+e^{x}\ln(x))dx=

    Grazie alla linearità degli integrali possiamo esprimere l'integrale di una somma come somma di integrali

    =\int x e^{x}\ln(x)dx+\int e^{x}\ln(x)dx=

    Possiamo risolvere il primo integrale mediante il metodo di integrazione per parti, scegliendo come derivata il fattore e^{x}:

    \\ = e^{x}x\ln(x)-\int (e^{x}\ln(x)+e^{x})dx+\int e^{x}\ln(x)dx= \\ \\ \\ = e^{x}x\ln(x)-\int e^{x}x\ln(x)dx-\int e^{x}dx+\int e^{x}\ln(x)dx=

    Osserviamo ora che due addendi si cancellano perché opposti, quello che ci rimane è quindi

    =e^{x}x\ln(x)-\int e^{x}dx=

    e quello rimasto è un integrale immediato di cui conosciamo il risultato (per approfondire integrale dell'esponenziale)

    =e^{x}x\ln(x)-e^{x}+c\mbox{ con }c\in\mathbb{R}

    Della famiglia trovata, prendiamo in considerazione la primitiva che si ottiene per c=0 ossia

    F(x)=e^{x}x\ln(x)-e^{x}

    e valutiamola agli estremi di [m, 1]:

    \\ F(1)=-e\\ \\ F(m)= m e^{m}\ln(m)-e^{m}

    Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che

    \\ \int_{m}^{1}(x+1)e^{x}\ln(x)dx= F(1)-F(m)= e- m e^{m}\ln(m)+e^{m}

    Per m\to 0 si ha infine che:

    - il termine me^{m}\ln(m)\to 0 perché m\ln(m)\to 0 (per confronto tra infiniti);

    - il termine e^{m}\to 1,

    di conseguenza

    \int_{0}^{1}(x+1)e^{x}\ln(x)dx=\lim_{m\to 0}(e- m e^{m}\ln(m)-e^{m})=1-e

    L'integrale improprio di seconda specie converge ed il valore che esso assume è 1-e.

    Risposta di Ifrit
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