Soluzioni
  • Dobbiamo risolvere il

    \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3x}-1}{7x+4x^2}=(\bullet)

    che presenta una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Il nostro intento è quello di utilizzare il limite notevole

    \lim_{x\to qualcosa}\frac{(1+f(x))^{c}-1}{f(x)}=c

    applicabile nel momento in cui f(x)\to 0 quando x\to qualcosa. Naturalmente dobbiamo ricondurci a questo limite, e per farlo riscriviamo la radice quinta come una potenza con esponente fratto

    (\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{(1+3x)^{\tfrac{1}{5}}-1}{7x+4x^2}=(\bullet \bullet)

    Nel nostro caso:

    - la funzione f(x)=3x che tende a 0 quando x\to 0;

    - la costante c=\frac{1}{5};

    Il limite notevole è applicabile però abbiamo bisogno del termine f(x)=3x al denominatore. Per farlo apparire moltiplichiamo e dividiamo per 3x

    \\ (\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{(1+3x)^{\tfrac{1}{5}}-1}{7x+4x^2}\cdot\frac{3x}{3x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{(1+3x)^{\tfrac{1}{5}}-1}{3x}\cdot\frac{3x}{7x+4x^2}=

    In accordo con l'algebra dei limiti possiamo scrivere il limite del prodotto come il prodotto dei limiti

    =\lim_{x\to 0}\frac{(1+3x)^{\tfrac{1}{5}}-1}{3x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{3x}{7x+4x^2}=

    Il primo vale \frac{1}{5} in virtù del limite notevole mentre il secondo si risolve raccogliendo totalmente la variabile x al denominatore e semplificandola con quella al numeratore

    \\ =\frac{1}{5}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x(7+4x)}= \\ \\ \\ = \frac{1}{5}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{3}{7+4x}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{7}=\frac{3}{35}

    Il limite è risolto.

    Risposta di Ifrit
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