Limite con radice quinta

Question

Potreste aiutarmi a risolvere questo limite fratto con una radice quinta al numeratore? lim_(x → 0)([5]√(1+3x)-1)/(7x+4x^2)

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Dobbiamo risolvere il lim_(x → 0)(√(1+3x)-1)/(7x+4x^2) = (•) che presenta una forma indeterminata [(0)/(0)]. Il nostro intento è quello di utilizzare il limite notevole lim_(x → qualcosa)((1+f(x))^(c)-1)/(f(x)) = c applicabile nel momento in cui f(x) → 0 quando x → qualcosa. Naturalmente dobbiamo ricondurci a questo limite, e per farlo riscriviamo la radice quinta come una potenza con esponente fratto (•) = lim_(x → 0)((1+3x)^((1)/(5))-1)/(7x+4x^2) = (• •) Nel nostro caso:-la funzione f(x) = 3x che tende a 0 quando x → 0;-la costante c = (1)/(5); Il limite notevole è applicabile però abbiamo bisogno del termine f(x) = 3x al denominatore. Per farlo apparire moltiplichiamo e dividiamo per 3x ; (• •) = lim_(x → 0)((1+3x)^((1)/(5))-1)/(7x+4x^2)·(3x)/(3x) = lim_(x → 0)((1+3x)^((1)/(5))-1)/(3x)·(3x)/(7x+4x^2) = In accordo con l'algebra dei limiti possiamo scrivere il limite del prodotto come il prodotto dei limiti = lim_(x → 0)((1+3x)^((1)/(5))-1)/(3x)·lim_(x → 0)(3x)/(7x+4x^2) = Il primo vale (1)/(5) in virtù del limite notevole mentre il secondo si risolve raccogliendo totalmente la variabile x al denominatore e semplificandola con quella al numeratore ; = (1)/(5)·lim_(x → 0)(3x)/(x(7+4x)) = (1)/(5)·lim_(x → 0)(3)/(7+4x) = (1)/(5)·(3)/(7) = (3)/(35) Il limite è risolto.