Soluzioni
  • Bisogna seguire una procedura ben precisa per poter scomporre il polinomio

    P(x) = x^5-10x^2+8

    con il metodo di Ruffini. Il primo passaggio prevede di ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti di x: in questo caso P(x) è già un polinomio ordinato

    Il secondo passaggio consiste nel determinare una radice razionale di P(x), ossia una frazione (p)/(q) che, sostituita all'indeterminata, annulli il polinomio.

    Chiaramente (p)/(q) non è certo una frazione qualsiasi! Bisogna determinarla ricordando che p è un divisore intero del termine noto, mentre q è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo - o coefficiente direttore.

    Nel caso considerato, il coefficiente direttore coincide con il coefficiente di x^5 e vale 1, di conseguenza la radice razionale è un numero intero che divide il termine noto 8.

    Divisori interi di 8 = ±1, ±2 , ±4, ±8

    Procedendo per tentativi, il divisore di 8 che annulla il polinomio è 2, infatti

    P(2) = 2^5-10·2^2+8 = 32-40+8 = 0

    A questo punto costruiamo la tabella, tipica del metodo di Ruffini.

    Nota bene: nella prima riga vanno inseriti i coefficienti di P(x) ordinati secondo le potenze decrescenti di x, aggiungendo anche i coefficienti nulli delle potenze mancanti!

    beginarrayr|rrrrrrrrr|r 1 0 0 -10 0 8 ; ; 2 2 4 8 -4 -8 ; hline 1 2 4 -2 -4 // endarray

    In base alla teoria, P(x) si scompone come il prodotto tra il binomio x-2 e il polinomio avente per coefficienti i numeri presenti nell'ultima riga della tabella: in simboli

    x^5-10x^2+8 = (x-2)(x^4+2x^3+4x^2-2x-4)

    Osservazione: il polinomio di quarto grado

    x^4+2x^3+4x^2-2x-4

    non può essere scomposto ulteriormente con la regola di Ruffini perché nessuno tra i divisori di -4 lo annulla.

    Risposta di Ifrit
 
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