Soluzioni
  • Bisogna seguire una procedura ben precisa per poter scomporre il polinomio

    P(x)=x^5-10x^2+8

    con il metodo di Ruffini. Il primo passaggio prevede di ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti di x: in questo caso P(x) è già un polinomio ordinato

    Il secondo passaggio consiste nel determinare una radice razionale di P(x), ossia una frazione \frac{p}{q} che, sostituita all'indeterminata, annulli il polinomio.

    Chiaramente \frac{p}{q} non è certo una frazione qualsiasi! Bisogna determinarla ricordando che p è un divisore intero del termine noto, mentre q è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo - o coefficiente direttore.

    Nel caso considerato, il coefficiente direttore coincide con il coefficiente di x^5 e vale 1, di conseguenza la radice razionale è un numero intero che divide il termine noto 8.

    \mbox{Divisori interi di }8=\{\pm 1, \ \pm 2 ,\ \pm 4, \ \pm 8\}

    Procedendo per tentativi, il divisore di 8 che annulla il polinomio è 2, infatti

    P(2)=2^5-10\cdot 2^2+8=32-40+8=0

    A questo punto costruiamo la tabella, tipica del metodo di Ruffini.

    Nota bene: nella prima riga vanno inseriti i coefficienti di P(x) ordinati secondo le potenze decrescenti di x, aggiungendo anche i coefficienti nulli delle potenze mancanti!

    \begin{array}{r|rrrrrrrrr|r}&1&&0&&0&&-10&&0&8\\ &&&&&&&&&&\\ 2&&&2&&4&&8&&-4&-8\\ \hline &1&&2&&4&&-2&&-4&//\end{array}

    In base alla teoria, P(x) si scompone come il prodotto tra il binomio x-2 e il polinomio avente per coefficienti i numeri presenti nell'ultima riga della tabella: in simboli

    x^5-10x^2+8=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2-2x-4)

    Osservazione: il polinomio di quarto grado

    x^4+2x^3+4x^2-2x-4

    non può essere scomposto ulteriormente con la regola di Ruffini perché nessuno tra i divisori di -4 lo annulla.

    Risposta di Ifrit
 
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