Scomporre un polinomio di grado 5 con la regola di Ruffini

Avrei bisogno di qualche dritta per applicare il metodo di Ruffini nella scomposizione di un polinomio di quinto grado.

Usare il metodo di Ruffini per scomporre il polinomio

P(x) = x^5−10x^2+8

Grazie mille.

Domanda di azza
Soluzione

Bisogna seguire una procedura ben precisa per poter scomporre il polinomio

P(x) = x^5−10x^2+8

con il metodo di Ruffini. Il primo passaggio prevede di ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti di x: in questo caso P(x) è già un polinomio ordinato

Il secondo passaggio consiste nel determinare una radice razionale di P(x), ossia una frazione (p)/(q) che, sostituita all'indeterminata, annulli il polinomio.

Chiaramente (p)/(q) non è certo una frazione qualsiasi! Bisogna determinarla ricordando che p è un divisore intero del termine noto, mentre q è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo - o coefficiente direttore.

Nel caso considerato, il coefficiente direttore coincide con il coefficiente di x^5 e vale 1, di conseguenza la radice razionale è un numero intero che divide il termine noto 8.

Divisori interi di 8 = ±1, ±2 , ±4, ±8

Procedendo per tentativi, il divisore di 8 che annulla il polinomio è 2, infatti

P(2) = 2^5−10·2^2+8 = 32−40+8 = 0

A questo punto costruiamo la tabella, tipica del metodo di Ruffini.

Nota bene: nella prima riga vanno inseriti i coefficienti di P(x) ordinati secondo le potenze decrescenti di x, aggiungendo anche i coefficienti nulli delle potenze mancanti!

r|rrrrrrrrr|r 1 0 0 −10 0 8 ; ; 2 2 4 8 −4 −8 ; hline 1 2 4 −2 −4 //

In base alla teoria, P(x) si scompone come il prodotto tra il binomio x−2 e il polinomio avente per coefficienti i numeri presenti nell'ultima riga della tabella: in simboli

x^5−10x^2+8 = (x−2)(x^4+2x^3+4x^2−2x−4)

Osservazione: il polinomio di quarto grado

x^4+2x^3+4x^2−2x−4

non può essere scomposto ulteriormente con la regola di Ruffini perché nessuno tra i divisori di -4 lo annulla.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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