Scomporre un polinomio di grado 5 con la regola di Ruffini

Question

Avrei bisogno di qualche dritta per applicare il metodo di Ruffini nella scomposizione di un polinomio di quinto grado. Usare il metodo di Ruffini per scomporre il polinomio P(x) = x^5−10x^2+8 Grazie mille.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Bisogna seguire una procedura ben precisa per poter scomporre il polinomio

con il metodo di Ruffini. Il primo passaggio prevede di ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti di : in questo caso è già un polinomio ordinato.

Il secondo passaggio consiste nel determinare una radice razionale di , ossia una frazione che, sostituita all'indeterminata, annulli il polinomio.

Chiaramente non è certo una frazione qualsiasi! Bisogna determinarla ricordando che è un divisore intero del termine noto, mentre è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo - o coefficiente direttore.

Nel caso considerato, il coefficiente direttore coincide con il coefficiente di e vale 1, di conseguenza la radice razionale è un numero intero che divide il termine noto 8.

Procedendo per tentativi, il divisore di 8 che annulla il polinomio è 2, infatti

A questo punto costruiamo la tabella, tipica del metodo di Ruffini.

Nota bene: nella prima riga vanno inseriti i coefficienti di ordinati secondo le potenze decrescenti di , aggiungendo anche i coefficienti nulli delle potenze mancanti!

r|rrrrrrrrr|r 1 0 0 −10 0 8 ; ; 2 2 4 8 −4 −8 ; hline 1 2 4 −2 −4 //

In base alla teoria, si scompone come il prodotto tra il binomio e il polinomio avente per coefficienti i numeri presenti nell'ultima riga della tabella: in simboli

Osservazione: il polinomio di quarto grado

non può essere scomposto ulteriormente con la regola di Ruffini perché nessuno tra i divisori di -4 lo annulla.