Soluzioni
  • Ciao Matteo arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • f(x)= \begin{cases}2+2x+\frac{4x}{1+e^{\frac{1}{3x}}}&\mbox{ se }x\ne 0\\3&\mbox{ se }x=0\end{cases}

    Calcoliamo la derivata sinistra con la definizione: non è nient'altro che il limite del rapporto incrementale calcolato da sinistra

    f_-'(0)= \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(h)-f(0)}{h}=

    f_-'(0)= \lim_{h\to 0^{-}}\frac{2+2h+\frac{4h}{1+e^{\frac{1}{3h}}}-3}{h}=

    f_-'(0)= \lim_{h\to 0^{-}}\frac{2h+\frac{4h}{1+e^{\frac{1}{3h}}}-1}{h}=

    f_-'(0)= \lim_{h\to 0^{-}}2h \frac{1+\frac{2}{1+e^{\frac{1}{3h}}}}{h}-\frac{1}{h}=

    f_-'(0)= \lim_{h\to 0^{-}}2 \left(1+\frac{2}{1+e^{\frac{1}{3h}}}\right)-\frac{1}{h}=+\infty

    Procedendo allo stesso modo per il limite destro avrai che il limite è -\infty

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • Ma non potrei fare anche la derivata della funzione e poi il limite?

    Ti dispiacerebbe spiegarmelo anche in questo modo, per favore?

    Risposta di matteo
  • No, non è la stessa cosa. Se faccio la derivata prima e poi faccio il limite, verifico se la derivata prima della funzione è continua in zero, e non è ciò che richiede l'esercizio. :)

    Ad ogni modo:

    f'(x)= 2+\frac{4(1+e^{\frac{1}{3x}})-4\cdot \left(-\frac{e^{\frac{1}{3x}}}{3x}\right)}{(1+e^{\frac{1}{3x}})^2}

    f'(x)= 2+\frac{12 x(1+e^{\frac{1}{3x}})+4\cdot e^{\frac{1}{3x}}}{3x (1+e^{\frac{1}{3x}})^2}

    \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^+}2+\frac{12 }{3(1+e^{\frac{1}{3x}})}+\frac{4\cdot e^{\frac{1}{3x}}}{3x (1+e^{\frac{1}{3x}})^2}=

    \lim_{x\to 0^+}2+\lim_{x\to 0^+}\frac{12 }{3(1+e^{\frac{1}{3x}})}+\lim_{x\to 0^+}\frac{4\cdot e^{\frac{1}{3x}}}{3x (1+e^{\frac{1}{3x}})^2}

    A questo punto studi ciascun limite:

    \lim_{x\to 0^+}\frac{12 }{3(1+e^{\frac{1}{3x}})}=0

    Per l'ultimo limite:

    \lim_{x\to 0^+}\frac{4\cdot e^{\frac{1}{3x}}}{3x (1+e^{\frac{1}{3x}})^2}

    Poniamo t= \frac{1}{3x} e osserviamo che quando x tende a zero +, t tende a +infinito:

    \lim_{t\to +\infty}\frac{4\cdot te^{t}}{ (1+e^{t})^2}=0

    Perché (1+e^t)^2 è un infinito di ordine superiore a te^t

    Il limite destro vale quindi 2. 

    Risposta di Ifrit
 
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