Soluzioni
  • Vogliamo calcolare l'integrale

    \int_{0}^{5}\frac{x}{x^2+1}dx=(\bullet)

    e procederemo con il metodo per il calcolo degli integrali di funzioni razionali.

    Se moltiplichiamo e dividiamo l'integranda per 2, ossia:

    (\bullet)=\frac{1}{2}\int_{0}^{5}\frac{2x}{x^2+1}dx=

    ci accorgiamo subito che il numeratore è esattamente la derivata del denominatore, dunque siamo di fronte ad un integrale notevole in forma generale che ha per risultato una funzione logaritmica:

    \\ =\frac{1}{2}\left[\ln(|x^2+1|)\right]_{0}^{5}= \\ \\ \\ = \frac{1}{2}\left[\ln(26)-\ln(1)\right]=

    Sappiamo che il logaritmo di 1 è 0, conseguentemente il risultato è:

    =\frac{1}{2}\ln(26)

     

    Soluzione alternativa: potevamo procedere anche con il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo t=x^2+1 da cui il nuovo differenziale è

    dt=2xdx\implies xdx=\frac{1}{2}dt

    Grazie alla sostituzione scelta, gli estremi si trasformano di conseguenza:

    - a x_0=0 associamo t_0=0^2+1=1;

    - a x_1=5 associamo t_1=5^2+1=26.

    L'integrale diventa

    \\ \int_{0}^{5}\frac{x}{x^2+1}dx= \\ \\ \\ =\int_{1}^{26}\frac{1}{2t}dt= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left[\ln(|t|)\right]_{1}^{26}=\frac{1}{2}\ln(26).

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
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