Calcolare un integrale definito con funzione fratta

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Ho un integrale definito che non riesco a calcolare, la funzione integranda è una funzione razionale fratta. Il testo dice: calcolare il seguente integrale definito

 

∫_(0)^(5)(x)/(x^2+1)dx

Domanda di luna12

 
Soluzioni

  • Vogliamo calcolare l'integrale

    ∫_(0)^(5)(x)/(x^2+1)dx = (•)

    e procederemo con il metodo per il calcolo degli integrali di funzioni razionali.

    Se moltiplichiamo e dividiamo l'integranda per 2, ossia:

    (•) = (1)/(2)∫_(0)^(5)(2x)/(x^2+1)dx =

    ci accorgiamo subito che il numeratore è esattamente la derivata del denominatore, dunque siamo di fronte ad un integrale notevole in forma generale che ha per risultato una funzione logaritmica:

    = (1)/(2)[ln(|x^2+1|)]_(0)^(5) = (1)/(2)[ln(26)-ln(1)] =

    Sappiamo che il logaritmo di 1 è 0, conseguentemente il risultato è:

    = (1)/(2)ln(26)

     

    Soluzione alternativa: potevamo procedere anche con il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo t = x^2+1 da cui il nuovo differenziale è

    dt = 2xdx ⇒ xdx = (1)/(2)dt

    Grazie alla sostituzione scelta, gli estremi si trasformano di conseguenza:

    - a x_0 = 0 associamo t_0 = 0^2+1 = 1;

    - a x_1 = 5 associamo t_1 = 5^2+1 = 26.

    L'integrale diventa

    ∫_(0)^(5)(x)/(x^2+1)dx = ∫_(1)^(26)(1)/(2t)dt = (1)/(2)[ln(|t|)]_(1)^(26) = (1)/(2)ln(26).

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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