Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale indefinito della funzione fratta f(x)=1/sin(2x), ossia

    \int\frac{1}{\sin(2x)}dx

    e in particolare abbiamo due possibilità.

    1) La prima consiste nel riscriverlo nella forma

    \int\csc(2x)dx=

    dove con \csc(2x) intendiamo la cosecante di 2x, dopodiché utilizziamo il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo y=2x da cui x=\frac{1}{2}y e quindi dx=\frac{1}{2}dy:

    =\int\csc(y)\cdot\frac{1}{2}dy=

    Possiamo trasportare la costante moltiplicativa fuori dal simbolo di integrazione

    =\frac{1}{2}\int\csc(y)dy=

    per cui, se conosciamo l'integrale della cosecante, concludiamo subito che

    =-\frac{1}{2}\ln(|\cot(y)+\csc(y)|)+c=

    dove \cot(y) è la funzione cotangente. Ripristiniamo la variabile x ricordando che y=2x

    =-\frac{1}{2}\ln(|\cot(2x)+\csc(2x)|)+c\mbox{ con }c\in\mathbb{R}

    2) In alternativa, si può procedere mediante le formule parametriche, dopodiché applicare il metodo di integrazione delle funzioni razionali. Andiamo nel particolare:

    \int\frac{1}{\sin(2x)}dx=

    Utilizziamo la formula di duplicazione del seno mediante la quale possiamo esprimere l'integrale come

    =\int\frac{1}{2\sin(x)\cos(x)}dx=(\bullet)

    È ora che intervengono le formule parametriche, poniamo

    t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

    e determiniamo la sostituzione inversa, esprimendo x in funzione di t.

    \frac{x}{2}=\arctan(t)\implies x=2\arctan(t)

    Determiniamo il differenziale derivando membro a membro rispetto alle relative variabili

    dx=\frac{2}{1+t^2}dt

    (nel caso servisse ecco come calcolare la derivata dell'arcotangente)

    Esprimiamo seno e coseno in funzione di t:

    \sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}\ \ \ \ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

    Ora abbiamo a disposizione tutti gli strumenti per riscrivere l'integrale

    \\ (\bullet)=\int\frac{1}{2\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt= \\ \\ \\ =\int\frac{1+t^2}{2t (1-t^2)}dt= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\int\frac{1+t^2}{t(1-t^2)}dt=(\bullet)

    Siamo così passati all'integrale di una funzione razionale fratta che affronteremo per mezzo dei fratti semplici.

    Scomponiamo il denominatore dell'integranda con l'ausilio dei prodotti notevoli: in particolare possiamo scomporre la differenza di quadrati

    t(1-t^2)=t (1-t)(1+t)

    A ciascun fattore assoceremo il relativo fratto semplice:

    - a t associamo \frac{A}{t};

    - a 1-t associamo \frac{B}{1-t};

    - a 1+t associamo \frac{C}{1+t}.

    Il nostro intento è quello di determinare le costanti reali A, \ B\mbox{ e }C tali che

    \\ \frac{A}{t}+\frac{B}{1-t}+\frac{C}{1+t}=\frac{1+t^2}{t (1-t)(1+t)} \\ \\ \\ \frac{A(1-t)(1+t)+Bt(1+t)+C t(1-t)}{t(1-t)(1+t)}=\frac{1+t^2}{t(1-t)(1+t)}

    Semplifichiamo i denominatori i quali hanno svolto il loro ruolo e svolgiamo i prodotti presenti al numeratori del primo membro:

    A-A t^2+Bt +Bt^2+Ct-Ct^2=1+t^2

    Raccogliamo parzialmente secondo le potenze di t

    (-A+B-C)t^2+(B+C)t+A=t^2+1

    Il principio di identità dei polinomi consente di costruire il seguente sistema lineare:

    \begin{cases}-A+B-C=1 \\ B+C= 0 \\ A=1\end{cases}

    che risolto conduce alla tripla A=1,\ B=1, \ C=-1. Le costanti determinate permettono di esprimere l'integrale come

    (\bullet)=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{1-t}-\frac{1}{1+t}\right)dt=

    Per la linearità dell'integrale possiamo scrivere l'integrale della somma come somma di integrali

    =\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{1}{1-t}dt-\int\frac{1}{1+t}dt\right)=

    Quelli ottenuti sono tutti integrali notevoli, che hanno come risultato un logaritmo a meno di costanti additive:

    =\frac{1}{2}\left(\ln(|t|)-\ln(|t-1|)-\ln(|1+t|)\right)+c=

    che grazie alle proprietà dei logaritmi possiamo esprimere il risultato come

    \\ =\frac{1}{2}\left(\ln\left(|t|\right)-(\ln(|t-1|\cdot |t+1|))\right)+c= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{|t|}{|t^2-1|}\right)+c=

    Ripristiniamo la variabile x, tenendo a mente la sostituzione t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

    =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right|\right)}{\left|\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right|}\right)+c

    Sebbene il risultato di questo integrale sembri essere in disaccordo con il risultato precedente, si può dimostrare che sono equivalenti, è sufficiente far uso delle formule trigonometriche.

     

    Risposta di Ifrit
 
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