Soluzioni
  • Ciao Donniebrasco, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Consideriamo la disequazione logaritmica (nella lezione del link trovi il procedimento generale)

    \log_{3}{(2-3^{x})}+x>0

    per risolverla bisogna scrivere l'addendo +x in forma logaritmica, in partocolare come un logaritmo in base 3. Sfruttando la definizione di logaritmo:

    \log_{3}{(2-3^{x})}+\log_{3}{(3^{x})}>0

    possiamo dunque riscrivere la disequazione nella forma

    \log_{3}{(2-3^{x})}>-\log_{3}{(3^{x})}

    Dunque ricorrere ad una nota proprietà dei logaritmi

    \log_{3}{(2-3^{x})}>\log_{3}{[(3^{x})^{-1}]}

    \log_{3}{(2-3^{x})}>\log_{3}{(3^{-x})}

    A questo punto possiamo eliminare i logaritmi in base 3. Non dobbiamo cambiare il segno di disequazione perché la base è maggiore di 1. Otteniamo

    2-3^{x}>3^{-x}

    da cui

    2-3^{x}-3^{-x}>0

    2-3^{x}-\frac{1}{3^{x}}>0

    Moltiplichiamo entrambi i membri per 3^{x}, che è un termine sempre positivo \forall x, quindi non dobbiamo cambiare il segno di disequazione

    2\cdot 3^{x}-3^{2x}-1>0

    Cambiamo segno

    3^{2x}-2\cdot 3^{x}+1<0

    Sostituiamo y=3^{x}

    y^2-2y+1<0

    (y-1)^2<0

    che è una disequazione impossibile.

    (Avremmo dovuto richiedere le condizioni di esistenza sul logaritmo all'inizio, ma non è evidentemente necessario essendo in ogni caso la disequazione impossibile) 

    Namasté!

     

     

     

    Risposta di Omega
 
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