Applicare il teorema di Lagrange a una funzione con modulo

Il teorema di Lagrange asserisce che, data una funzione continua su e derivabile su , allora risulta che esiste  tale che

Si tratta dunque di controllare se la funzione è continua su e derivabile su .

Continuità

L'unico punto che desta la nostra attenzione è , in cui dobbiamo valutare se la funzione assegnata è continua oppure no. Seguiamo la definizione di continuità in un punto

quindi la funzione è continua nell'intervallo (nei restanti punti dell'intervallo non ci sono dubbi perché la funzione può essere scritta come un polinomio, specificando il segno dell'argomento del modulo).

Derivabilità

Ragioniamo come sopra, e caloliamo i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale nel punto

Allo stesso modo

quindi la funzione è derivabile sull'intervallo .

Applichiamo il teorema di Lagrange

Calcoliamo la derivata prime della funzione , trovando

e imponendo l'equazione

e in definitiva

per cui abbiamo due valori interni all'intervallo

Namasté!