Soluzioni
  • Ciao MartinaG, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Il teorema di Lagrange asserisce che, data una funzione f(x):[a,b]\to \mathbb{R} continua su [a,b] e derivabile su (a,b), allora risulta che esiste c\in (a,b) tale che

    f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}


    Si tratta dunque di controllare se la funzione F(x)=x|x| è continua su [-1,+1] e derivabile su (-1,+1).


    Continuità

    L'unico punto che desta la nostra attenzione è x=0, in cui dobbiamo valutare se la funzione assegnata è continua oppure no. Seguiamo la definizione di continuità in un punto

    \lim_{x\to 0^{-}}{F(x)}=0

    \lim_{x\to 0^{+}}{F(x)}=0

    F(0)=0

    quindi la funzione è continua nell'intervallo [-1,+1] (nei restanti punti dell'intervallo non ci sono dubbi perché la funzione può essere scritta come un polinomio, specificando il segno dell'argomento del modulo).


    Derivabilità

    Ragioniamo come sopra, e caloliamo i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale nel punto x=0

    \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{F(h)-F(0)}{h}}=\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{h|h|}{h}}=\lim_{h\to 0^{-}}{|h|}=0

    Allo stesso modo

    \lim_{h\to 0^{+}}{\frac{F(h)-F(0)}{h}}=0

    quindi la funzione è derivabile sull'intervallo (-1,+1).


    Applichiamo il teorema di Lagrange

    Calcoliamo la derivata prime della funzione F(x)=x|x|, trovando

    F'(x)=|x|+x\frac{x}{|x|}=|x|+|x|=2|x|

    e imponendo l'equazione

    2|c|=\frac{F(1)-F(-1)}{1-(-1)}

    2|c|=\frac{1-(-1)}{2}

    2|c|=\frac{2}{2}

    e in definitiva

    |c|=\frac{1}{2}

    per cui abbiamo due valori interni all'intervallo (-1,+1)

    c=\pm \frac{1}{2}

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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