Numero di soluzioni di un'equazione di grado n

Le soluzioni di un'equazione polinomiale di grado n sono n, contate con le rispettive molteplicità. Un'equazione polinomiale in una sola incognita e di grado n ammette esattamente n soluzioni complesse, in cui sono comprese anche le eventuali soluzioni reali.

Ciò è garantito da un corollario del teorema fondamentale dell'Algebra e dalla relazione tra i concetti di soluzione di un'equazione e radice di un polinomio.

Il teorema fondamentale dell'Algebra stabilisce che ogni polinomio a coefficienti reali o complessi e di grado maggiore o uguale a 1 ammette almeno una radice complessa.

Un suo corollario stabilisce invece che ogni polinomio a coefficienti reali o complessi e di grado n ammette esattamente n radici complesse, ciascuna contata con la relativa molteplicità.

Ricordiamo ora che le radici di un polinomio sono le soluzioni dell'equazione associata ad esso, ossia le soluzioni dell'equazione polinomiale .

Di conseguenza le soluzioni di un'equazione polinomiale di grado n della forma

corrispondono agli zeri del polinomio

e per il corollario del teorema fondamentale dell'Algebra sono n soluzioni complesse, contate con la rispettiva molteplicità.

Osservazione importante

Quanto scritto fin qui sul numero di soluzioni di un'equazione di grado n vale a patto di lavorare nell'insieme dei numeri complessi, che è un sovrainsieme dei numeri reali.

Limitandoci all'insieme dei numeri reali, se volessimo sapere quante solo le soluzioni reali di un'equazione di grado a coefficienti reali, l'unica risposta che potremmo dare è che ha al più n radici reali, senza sapere con esattezza il loro numero.

L'unica eccezione riguarda le equazioni a coefficienti reali di grado dispari.

Un noto teorema stabilisce infatti che le soluzioni complesse di un'equazione a coefficienti reali si presentano come coppie di complessi coniugati, dunque un'equazione a coefficienti reali e di grado dispari ammette almeno una radice reale.

Facciamo un esempio: consideriamo l'equazione polinomiale

Il suo grado è 5, dunque questa equazione ammette 5 radici complesse - in cui sono incluse anche quelle reali, essendo - contate con le relative molteplicità. Inoltre, poiché il suo grado è dispari, siamo sicuri che almeno una radice è reale.

Verifichiamolo: effettuiamo un raccoglimento totale e mettiamo in evidenza

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto:

La prima è un'equazione di terzo grado che ammette tre soluzioni reali e coincidenti con la soluzione nulla

per cui è una soluzione con molteplicità 3.

La seconda è un'equazione di secondo grado che non ha soluzioni reali (il discriminante associato è negativo). Ammette però due soluzioni complesse coniugate

dove è l'unità immaginaria.

In definitiva le soluzioni dell'equazione di quinto grado

sono

con molteplicità 3;

con molteplicità 1;

con molteplicità 1.

Se contate con la loro molteplicità sono proprio 5, e almeno una è reale.

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