Soluzioni
  • Ciao luna arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Vediamo come determinare i punti di estremo relativo di

    f(x)= \frac{6}{\sqrt{1-5x^2}}

    Prima di tutto calcoliamo il dominio della funzione (click per le regole):

    Dobbiamo pretendere che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero,  e poiché la radice è al denominatore dobbiamo imporre che essa sia anche diversa da zero:

    In pratica avremo da risolvere la disequazione:

    1-5x^2>0

    -5x^2>-1

    5x^2<1

    x^2<\frac{1}{5}

    x>-\sqrt{\frac{1}{5}}

    e

    x<\sqrt{\frac{1}{5}}

    In pratica il dominio della funzione è:

    \mbox{dom}(f)=\left(-\sqrt{\frac{1}{5}}, \sqrt{\frac{1}{5}}\right)

     

    Per trovare i punti di estremo relativi, dobbiamo calcolare la derivata prima:

    f'(x)=\frac{30 x}{(1-5x^2)\sqrt{1-5x^2}}

    (se vuoi tutti i passaggi chiedi ;)) e dobbiamo individuare i punti in cui si annulla la derivata prima:

    f'(x)=0\iff \frac{30x}{(1-5x^2)\sqrt{1-5x^2}}=0

     

    Una frazione è uguale a zero quando il suo numeratore è uguale a zero:

    3x=0\implies x=0

    il valore x=0 appartiene al dominio quindi siamo tranquilli. Tale punto è un potenziale punto di massimo o di minimo. Per determinarne la natura andremo a studiare il segno della derivata prima:

    f'(x)>0 

    se e solo se

    \frac{30 x}{(1-5x^2)\sqrt{1-5x^2}}>0

    Osserva che il denominatore è sempre positivo nel dominio della funzione. Il segno della derivata prima dipenderà esclusivamente dal numeratore:

    30x>0

    implica 

    x>0

    La derivata prima è positiva se x>0

    dunque la funzione è crescente in (0, \sqrt{\frac{1}{5}})

    La derivata prima è negativa se x<0

    quindi decrescente in (-\sqrt{\frac{1}{5}}, 0).

     

    x=0 quindi è un punto di minimo relativo (e assoluto) per la funzione.

    Il minimo vale f(0)= 6

     

    Se vuoi leggere il procedimento spiegato nel dettaglio, con tutta la teoria necessaria, vedi qui: massimi e minimi di una funzione

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • Puoi scrivermi tutti i passaggi per la derivata prima?

    Poi come troviamo che 6 è un punto di minimo?

    Risposta di luna12
  • La derivata arriva subito:

    D\left[\frac{6}{\sqrt{1-5x^2}}\right]=

    Ci conviene scrivere la radice come potenza ad esponente frazionario e negativo, ci permetterà di diminuire il numero di passaggi:

    D\left[6(1-5x^2)^{-\frac{1}{2}}\right]= 6D[(1-5x^2)^{-\frac{1}{2}}]

    Qui ho usato il fatto che 6 è una costante moltiplicativa. Ora usiamo la regola per la derivata di una potenza

    6D[(1-5x^2)^{-\frac{1}{2}}]= 6 \left(-\frac{1}{2}\right) (1-5x^2)^{-\frac{1}{2}-1} D[1-5x^2]=

    6\left(-\frac{1}{2}\right)(1-5x^2)^{-\frac{3}{2}}(-10 x)

    Pertanto:

    30x (1-5x^2)^{-\frac{3}{2}}= \frac{30x}{(1-5x^2)^{\frac{3}{2}}}=

    \frac{30x}{(1-5x^2)\sqrt{1-5x^2}}

     

    Attenzione, 0 è il punto di minimo, 6 è il minimo.

    Lo zero lo abbiamo trovato risolvendol'equazione f'(x)=0.

    Risposta di Ifrit
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