Punti di estremo relativo

Ciao, come si calcolano i punti di estremo relativo di una funzione fratta con una radice come questa?

f(x) = (6)/(√(1-5x^2))

Domanda di luna12
Soluzioni

Ciao luna arrivo :D

Risposta di Ifrit

Vediamo come determinare i punti di estremo relativo di

f(x) = (6)/(√(1-5x^2))

Prima di tutto calcoliamo il dominio della funzione (click per le regole):

Dobbiamo pretendere che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero,  e poiché la radice è al denominatore dobbiamo imporre che essa sia anche diversa da zero:

In pratica avremo da risolvere la disequazione:

1-5x^2 > 0

-5x^2 > -1

5x^2 < 1

x^2 < (1)/(5)

x > -√((1)/(5))

e

x < √((1)/(5))

In pratica il dominio della funzione è:

dom(f) = (-√((1)/(5)), √((1)/(5)))

Per trovare i punti di estremo relativi, dobbiamo calcolare la derivata prima:

f'(x) = (30 x)/((1-5x^2)√(1-5x^2))

(se vuoi tutti i passaggi chiedi ;)) e dobbiamo individuare i punti in cui si annulla la derivata prima:

f'(x) = 0 ⇔ (30x)/((1-5x^2)√(1-5x^2)) = 0

Una frazione è uguale a zero quando il suo numeratore è uguale a zero:

3x = 0 ⇒ x = 0

il valore x = 0 appartiene al dominio quindi siamo tranquilli. Tale punto è un potenziale punto di massimo o di minimo. Per determinarne la natura andremo a studiare il segno della derivata prima:

f'(x) > 0 

se e solo se

(30 x)/((1-5x^2)√(1-5x^2)) > 0

Osserva che il denominatore è sempre positivo nel dominio della funzione. Il segno della derivata prima dipenderà esclusivamente dal numeratore:

30x > 0

implica 

x > 0

La derivata prima è positiva se x > 0

dunque la funzione è crescente in (0, √((1)/(5)))

La derivata prima è negativa se x < 0

quindi decrescente in (-√((1)/(5)), 0).

x=0 quindi è un punto di minimo relativo (e assoluto) per la funzione.

Il minimo vale f(0) = 6

Se vuoi leggere il procedimento spiegato nel dettaglio, con tutta la teoria necessaria, vedi qui: massimi e minimi di una funzione. 

Se hai domande sono qui :)

Risposta di Ifrit

Puoi scrivermi tutti i passaggi per la derivata prima?

Poi come troviamo che 6 è un punto di minimo?

Risposta di luna12

La derivata arriva subito:

D[(6)/(√(1-5x^2))] =

Ci conviene scrivere la radice come potenza ad esponente frazionario e negativo, ci permetterà di diminuire il numero di passaggi:

D[6(1-5x^2)^(-(1)/(2))] = 6D[(1-5x^2)^(-(1)/(2))]

Qui ho usato il fatto che 6 è una costante moltiplicativa. Ora usiamo la regola per la derivata di una potenza

6D[(1-5x^2)^(-(1)/(2))] = 6 (-(1)/(2)) (1-5x^2)^(-(1)/(2)-1) D[1-5x^2] =

6(-(1)/(2))(1-5x^2)^(-(3)/(2))(-10 x)

Pertanto:

30x (1-5x^2)^(-(3)/(2)) = (30x)/((1-5x^2)^((3)/(2))) =

(30x)/((1-5x^2)√(1-5x^2))

Attenzione, 0 è il punto di minimo, 6 è il minimo.

Lo zero lo abbiamo trovato risolvendol'equazione f'(x) = 0.

Risposta di Ifrit

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