Correzione di una derivata parziale composta

Salve, potete controllare per favore se la seguente derivata parziale è fatta bene?

 

\frac{\partial V_{x}}{\partial x}

dove V_{x} = \frac{x f(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

 

Il professore l'ha svolta nel seguente modo, ma ho qualche dubbio :) penso ci sia una r all'inizio in più. ;)

 

\frac{r f(r) + x^{2} f'(r) - \frac{x^{2} f(r)}{r}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=

 

\frac{r^{2} f(r) + x^{2} r f'(r) -x^{2} f(r)}{r^{3/2}}=

 

dove al posto di

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} penso il prof abbia sostituito r.

Grazie mille!

In Uni - Analisi - Domanda di Danilo

Soluzioni

  • Se si decide di porre

    r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

    la funzione si riduce a

    x\frac{f(r(x,y,z))}{r(x,y,z)}

    e quindi nel derivare rispetto a x si ricorre al teorema di derivazione della funzione composta:

    \frac{f(r)}{r}+x\frac{\partial}{\partial x}\frac{f(r(x,y,z))}{r(x,y,z)}

    Quindi si trova

    \frac{f(r)}{r}+x\frac{f'(r(x,y,z))r'(x,y,z)r(x,y,z)-f(r(x,y,z))r'(x,y,z)}{r^2(x,y,z)}

    Per il resto non dovrebbero esserci difficoltà, l'unica cosa cui fare attenzione è l'applicazione del teorema della funzione composta.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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