Soluzioni
  • Il calcolo delle radici quadrate di un numero complesso richiede un metodo ben preciso che però non possiamo applicare per questo esercizio: puoi comunque approfondire leggendo la lezione su come calcolare le radici di un numero complesso nella quale esponiamo dettagliatamente la procedura da seguire.

    Per determinare le radici quadrate del numero complesso

    w=1-\frac{i}{\sqrt{3}}

    utilizzando la formula di De Moivre, dobbiamo ingegnarci un po'. Per prima cosa poniamo

    z=\sqrt{1-\frac{i}{\sqrt{3}}}

    e teniamo a mente che le radici di un numero complesso sono a loro volta numeri complessi e in quanto tali possono essere espressi in forma trigonometrica (o in forma polare che dir si voglia)

    z=\sqrt{1-\frac{i}{\sqrt{3}}}=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))

    dove \rho\ge 0\ \mbox{e} \ \theta\in (-\pi,\pi] indicano rispettivamente il modulo e l'argomento di z.

    Eleviamo al quadrato i due membri dell'equazione

    \sqrt{1-\frac{i}{\sqrt{3}}}=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))

    così da poter eliminare la radice quadrata

    1-\frac{i}{\sqrt{3}}=\rho^2(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^2

    A questo punto, sfruttiamo la formula di De Moivre con cui possiamo esprimere l'uguaglianza nella forma equivalente

    1-\frac{i}{\sqrt{3}}=\rho^2(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta))

    Passiamo dalla forma algebrica alla forma trigonometrica il numero complesso w, determinandone il modulo e l'argomento: il modulo di w è

    |w|=\sqrt{Re(w)^2+Im(w)^2}=\sqrt{1^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}

    Il calcolo dell'argomento è un po' più delicato. Per prima cosa scegliamo (-\pi,\pi] come intervallo di variazione dell'argomento di w ed osserviamo che, poiché la parte reale è positiva, l'argomento si ottiene mediante la relazione

    Arg(w)=\arctan\left(\frac{Im(w)}{Re(w)}\right)=\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}

    Ora che disponiamo del modulo e dell'argomento di w possiamo esprimerlo in forma trigonometrica

    \\ w=|w|\left[\cos\left(Arg(w)\right)+i\sin\left(Arg(w)\right)\right]= \\ \\ \\ =\frac{2}{\sqrt{3}}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right]

    mediante la quale l'equazione

    1-\frac{i}{\sqrt{3}}=\rho^2(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta))

    diventa

    \frac{2}{\sqrt{3}}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right]=\rho^2(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta))

    Ricordiamo che due numeri complessi coincidono se e solo se valgono contemporaneamente le seguenti condizioni:

    - i moduli dei due numeri coincidono, nel caso in esame, si traduce nella equazione nell'incognita \rho

    \rho^2=\frac{2}{\sqrt{3}} \to \rho=\pm\sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}

    chiaramente la soluzione negativa deve essere scartata perché il modulo è per definizione una quantità non negativa;

    - gli argomenti dei due numeri differiscono di un multiplo di 2\pi, ossia

    2\theta=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\implies \theta=-\frac{\pi}{12}+k\pi

    dove k è un numero intero. Purtroppo non abbiamo terminato, dobbiamo infatti determinare i valori di k\in\mathbb{Z} che verificano la doppia disuguaglianza -\pi<\theta\le\pi, cioè:

    -\pi<-\frac{\pi}{12}+k\pi\le\pi

    Sommiamo i tre membri per \frac{\pi}{12} e in seguito dividiamoli per \pi

    -\frac{11\pi}{12}<k\pi\le\frac{13\pi}{12}\to -\frac{11}{12}<k\le\frac{13}{12}

    Gli unici valori di k che soddisfano la catena di disuguaglianze sono:

    \bullet \ \ \ k=0 a cui associamo \theta=-\frac{\pi}{12};

    \bullet \ \ \ k=1 a cui associamo \theta=\frac{11\pi}{12}.

    È giunto il momento di trarre le dovute conclusioni:

    - ai valori \rho=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}} , \ \theta=-\frac{\pi}{12} associamo il numero complesso

    z_1=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right]

    - ai valori \rho=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}, \ \theta=\frac{11\pi}{12} associamo il numero complesso

    z_2=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}\left[\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right)\right]

    I numeri z_1 \ \mbox{e} \ z_2 rappresentano le radici quadrate di w che è ciò che volevamo calcolare!

    Risposta di Ifrit
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