Soluzioni
  • Ciao Turdacò, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Mi serve una conferma o una smentita: la serie è questa qui?

    \sum_{n=0}^{+\infty}{2^{n}\left[\frac{n}{n+2}\right]^{n^2+2}}

    Fammi sapere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • sisi solo che n va da 1 a più infinito

    Risposta di Turdacò
  • Ok: per provare che la serie data converge (perché converge! Laughing) applichiamo il criterio della radice, e chiamando \{a_{n}\}_{n} il termine generale della serie dobbiamo calcolare il 

    \lim_{n\to +\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}

    Non è difficile vedere che

    \sqrt[n]{a_{n}}=2\left[\frac{n}{n+2}\right]^{n^+\frac{2}{n}}

    e che possiamo passare per equivalenza aintotica a considerare

    2\left[\frac{n}{n+2}\right]^{n}

    Grazie alla definizione di logaritmo, riscriviamo tutto nella forma

    2e^{n\log{\left[\frac{n}{n+2}\right]}}

    All'esponente, nell'argomento del logaritmo sommiamo e sottraiamo 2

    2e^{n\log{\left[\frac{n+2-2}{n+2}\right]}}

    Spezzando la frazione otteniamo

    2e^{n\log{\left[1-\frac{2}{n+2}\right]}}

    Applichiamo il limite notevole del logaritmo

    2e^{-n\frac{2}{n+2}\right]}}

    e tale successione ha limite

    2e^{-2}<1

    quindi il criterio della radice assicura la convergenza della successione.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie mille =) sempre preciso  chiaro e semplice !mi stai dando una grossa mano per il mio esame di Analisi 1!

    Risposta di Turdacò
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