Soluzioni
  • Ciao Bartez, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Sicuro che non manchi qualche ipotesi, ad esempio che la funzione f sia lineare?

    L'asserto che cerchi di dimostrare non vale, puoi considerare come controesempio la funzione 

    y=sgn(x)

    che è definita \mathbb{R}\to\mathbb{R}, continua su tutto \mathbb{R}-\{0\} ed è limitata in un intorno di x=0

    Fammi sapere...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Hai ragione scusami .... ho dimentico di scrivere che la funzione f:R-->R è invertibile !

    Risposta di Bartez
  •  Ci ho pensato su, non basta ancora: Frown la funzione è invertibile su tutto \mathbb{R} oppure su \mathbb{R}-\{0\} ?

    Risposta di Omega
  • Sull'esercizio non è specificato....

    Risposta di Bartez
  • Non so, continuo a non essere convinto. Prova ad esempio a considerare la funzione

    f(x)=x-1\mbox{ se }x<0

    f(x)=0\mbox{ se }x=0

    f(x)=x+1\mbox{ se }x>0

    che è definita su tutto \mathbb{R}, è continua su \mathbb{R}-\{0\}, è invertibile ed è limitata in un intorno di x=0.

    Risposta di Omega
  • Scusa non capisco perchè f(x) è limitata visto che l'immagine non corrisponde ad un insieme limitato...

    Risposta di Bartez
  • L'ipotesi è che sia limitata in un intorno di zero, non limitata su tutto \mathbb{R}...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ah ok è vero ;)

    Risposta di Bartez
  • E' una bella gatta da pelare...posso chiederti da dove nasce la richiesta, così cerchiamo strade alternative?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • E'  il testo di un esercizio !

    Risposta di Bartez
  • Ed è scritto paro-paro a come l'hai scritto tu? Avresti voglia di ricopiarlo? 

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ''Sia ƒ:R-->R una funzione invertibile. Se ƒ è continua in R - {0} e limitata in un intorno di 0 , allora ƒ è continua su tutto R.''

    Questo è il testo 

    Risposta di Bartez
  • Cmq la funzione che hai scritto prima credo che non sia invertibile come funzione R-->R perchè non è suriettiva.

    Un esempio potrebbe essere f(x)= (x-c) se x< 0

                                                         0    se x= 0

                                                      (x+c)  se x> 0

    Questa funzione R-->R , è continua in R-{0} è iniettiva e per essere anche suriettiva deve essere c= 0 che implica anche la continuità in 0.

    Ma questo è solo un esempio , non so come fare una dimostrazione ...

    Risposta di Bartez
  • Infatti, il punto è proprio quello: bisogna andarci con i piedi di piombo, perché se l'esercizio (come ormai è conclamato) pone come ipotesi l'invertibilità della funzione su tutto \mathbb{R}, allora il mio controesempio non funziona.

    Ma, se con invertibile si intende "invertibile senza specificare il codominio", allora la funzione che ti ho proposto è un valido controesempio. La suriettività non è affatto stringente agli occhi dell'invertibilità, basta restringere opportunamente il codominio per rendere invertibile una funzione che non è suriettiva.

    Dire infatti "una funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} invertibile" è ben diverso dal dire "una funzione f invertibile da \mathbb{R} a \mathbb{R}".

    Ad ogni modo, essendo l'unica possibilità che rende vero l'asserto, procediamo supponendo la funzione invertibile su tutto \mathbb{R}. Il tempo di ragionarci su...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok grazie mille ;)

    Risposta di Bartez
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