Soluzioni
  • Le matrici

    \\ A=\begin{pmatrix}0 & 2k-2 \\ 1 & 2k-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}2&4 \\ k+1 & k-3\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

    sono elementi dello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, il cui vettore nullo è la matrice

    O_2=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

    Per definizione, A,B,C,D sono linearmente indipendenti tra loro se l'equazione

    \lambda_1 A + \lambda_2 B + \lambda_3 C+ \lambda_4 D = O_2

    ha come unica soluzione quella banale

    (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)=(0,0,0,0)

    Alla luce di ciò, determinare i valori reali del parametro k per cui A,B,C,D sono linearmente indipendenti equivale a stabilire per quali valori di k l'equazione matriciale

    \lambda_1 A + \lambda_2 B + \lambda_3 C+ \lambda_4 D = O_2

    ha come unica soluzione quella banale.

    Scriviamo ciascuna matrice per esteso

    \\ \lambda_1 \begin{pmatrix}0 & 2k-2 \\ 1 & 2k-1\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix} + \\ \\ \\ + \lambda_3 \begin{pmatrix}2&4 \\ k+1 & k-3\end{pmatrix} + \lambda_4 \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

    Svolgendo i prodotti scalare-matrice e le somme matriciali ricadiamo nell'uguaglianza

    \begin{pmatrix}\lambda_2+2\lambda_3+\lambda_4 && (2k-2)\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3 \\ \\ \lambda_1+\lambda_2+(k+1)\lambda_3 && (2k-1)\lambda_1-\lambda_2+(k-3)\lambda_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

    da cui si ottiene il sistema lineare parametrico e omogeneo

    \begin{cases}\lambda_2+2\lambda_3+\lambda_4=0 \\ (2k-2)\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0 \\ \lambda_1+\lambda_2+(k+1)\lambda_3=0 \\ (2k-1)\lambda_1-\lambda_2+(k-3)\lambda_3=0\end{cases}

    nelle incognite \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4.

    Per il teorema di Rouché Capelli, un sistema omogeneo ammette come unica soluzione quella banale se e solo se la matrice incompleta a esso associata ha rango uguale al numero delle incognite, che è 4.

    Tale matrice è

    \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 1 \\ 2k-2 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & k+1 & 0 \\ 2k-1 & -1 & k-3 & 0 \end{pmatrix}

    e, per il criterio dei minori, il suo rango è 4 per i valori di k per cui ha determinante diverso da zero.

    Calcoliamolo con uno sviluppo di Laplace riferito alla quarta colonna, in quanto ha tre termini nulli.

    \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 1 \\ 2k-2 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & k+1 & 0 \\ 2k-1 & -1 & k-3 & 0 \end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{1+4} \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2k-2 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & k+1 \\ 2k-1 & -1 & k-3\end{pmatrix} =

    applichiamo la regola di Sarrus

    \\ = -1 \cdot \{(2k-2) \cdot 1 \cdot (k-3) + 2 \cdot (k+1) \cdot (2k-1) + 4 \cdot 1 \cdot (-1) + \\ \\ - [4 \cdot 1 \cdot (2k-1) + 2 \cdot 1 \cdot (k-3) + (2k-2) \cdot (k+1) \cdot 1]\}=

    Svolgiamo i prodotti

    \\ =-\{2k^2-6k-2k+6+4k^2-2k+4k-2-4+ \\ \\ - (8k-4+2k-6-2k^2-2k+2k+2)\}=

    Sommiamo i termini simili

    =-[6k^2-6k-(-2k^2+10k-8)]=

    eliminiamo la coppia di parentesi tonde cambiando il segno degli elementi al suo interno

    \\ =-(6k^2-6k+2k^2-10k+8)= \\ \\ =-(8k^2-16k+8)=

    raccogliamo 8 a fattor comune e osserviamo che il trinomio risultante è lo sviluppo di un quadrato di binomio

    =-8(k^2-2k+1) = -8(k-1)^2

    In breve, il determinante della matrice incompleta associata al sistema è

    -8(k-1)^2

    ed è diverso da zero per k \neq 1.

    In conclusione, il sistema ammette come unica soluzione quella banale, e quindi A,B,C,D sono linearmente indipendenti per ogni k \in \mathbb{R} - \{1\}.

    È fatta!

    Risposta di Galois
 
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