Limite di successione esponenziale (n/(n+1))^n
Salve, devo calcolare il limite di una successione esponenziale con la base fratta, il cui risultato dovrebbe essere 1/e.
Ciao Diabolik, arrivo a risponderti...:)
grazie!! :D
Dobbiamo calcolare il
Ci sono due modi equivalenti per farlo. Qui useremo quello canonico, cioè ci appoggeremo al limite notevole
che si può usare a patto che
per 
.Riscriviamo il limite in modo da poter usare il suddetto limite notevole. Aggiungiamo e togliamo un
a numeratore nella base
Spezziamo la frazione
Ora abbiamo la funzione che ci serve per il limite notevole
dobbiamo farla saltare fuori all'esponente per poter applicare il limite notevole: sommiamo e sottraiamo un
all'esponente
da cui, per le proprietà delle potenze
![lim_(n → +∞)[(1+(1)/(-(n+1)))]^(n+1)·[(1+(1)/(-(n+1)))]^(-1)](/images/joomlatex/3/d/3dddcdf9c3de1d28ea9be0d8599f22fe.gif)
il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti
![lim_(n → +∞)[(1+(1)/(-(n+1)))]^(n+1)·lim_(n → +∞)[(1+(1)/(-(n+1)))]^(-1)](/images/joomlatex/d/e/de6e09e2542b405c6ca28096fe30585b.gif)
il secondo limite è
(semplicissimo)![lim_(n → +∞)[(1+(1)/(-(n+1)))]^(n+1)](/images/joomlatex/5/4/54b4dbde70faaaa5dada1d90c8759577.gif)
moltiplichiamo l'esponente per
dunque non cambia nulla e vale l'uguaglianza![lim_(n → +∞)[(1+(1)/(-(n+1)))^(-n-1)]^(-1)](/images/joomlatex/b/d/bd647461ba6ddfe6613b3481737af5e9.gif)
Applichiamo il limite notevole, per cui abbiamo come risultato
e abbiamo finito!
Namasté!
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