Soluzioni
  • Ciao Diabolik, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • grazie!! :D

    Risposta di diabolik
  • Dobbiamo calcolare il

    \lim_{n\to +\infty}{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n}

    Ci sono due modi equivalenti per farlo. Qui useremo quello canonico, cioè ci appoggeremo al limite notevole

    \lim_{n\to +\infty}{\left(1+\frac{1}{f(n)}\right)^{f(n)}}

    che si può usare a patto che f(n)\to \pm \infty per n\to +\infty.

    Riscriviamo il limite in modo da poter usare il suddetto limite notevole. Aggiungiamo e togliamo un 1 a numeratore nella base

    \lim_{n\to +\infty}{\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n}

    Spezziamo la frazione

    \lim_{n\to +\infty}{\left(\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\right)^n}

    \lim_{n\to +\infty}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n}

    \lim_{n\to +\infty}{\left(1+\frac{1}{-(n+1)}\right)^n}

    Ora abbiamo la funzione che ci serve per il limite notevole

    f(n)=-(n+1)

    dobbiamo farla saltare fuori all'esponente per poter applicare il limite notevole: sommiamo e sottraiamo un 1 all'esponente

    \lim_{n\to +\infty}{\left(1+\frac{1}{-(n+1)}\right)^{n+1-1}}

    da cui, per le proprietà delle potenze

    \lim_{n\to +\infty}{\left[\left(1+\frac{1}{-(n+1)}\right)\right]^{n+1}\cdot\left[\left(1+\frac{1}{-(n+1)}\right)\right]^{-1}}}

    il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti

    \lim_{n\to +\infty}{\left[\left(1+\frac{1}{-(n+1)}\right)\right]^{n+1}}\cdot\lim_{n\to +\infty}{\left[\left(1+\frac{1}{-(n+1)}\right)\right]^{-1}}}

    il secondo limite è 1 (semplicissimo)

    \lim_{n\to +\infty}{\left[\left(1+\frac{1}{-(n+1)}\right)\right]^{n+1}}

    moltiplichiamo l'esponente per (-1)(-1)=+1 dunque non cambia nulla e vale l'uguaglianza

    \lim_{n\to +\infty}{\left[\left(1+\frac{1}{-(n+1)}\right)^{(-n-1)}\right]^{-1}}

    Applichiamo il limite notevole, per cui abbiamo come risultato

    e^{-1}=\frac{1}{e}

    e abbiamo finito! Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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