Calcolare un integrale indefinito fratto con radice

Question

Sto risolvendo degli esercizi sugli integrali indefiniti e in questo caso particolare non ho trovato un metodo di risoluzione che dia il risultato del libro. ∫(1+2x)/(√(3-2x^2))dx La presenza della radice al denominatore dell'integranda mi crea difficoltà. Grazie in anticipo.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per risolvere l'integrale indefinito ∫(1+2x)/(√(3-2x^2))dx = conviene spezzare il numeratore e scrivere la frazione nella somma di due frazioni = ∫((1)/(√(3-2x^2))+(2x)/(√(3-2x^2)))dx = e utilizzare la linearità dell'integrale per esprimere l'integrale della somma come somma di integrali = ∫(1)/(√(3-2x^2))dx+∫(2x)/(√(3-2x^2))dx = (•) Risolviamo separatamente i due integrali ; I_1 = ∫(1)/(√(3-2x^2))dx ; I_2 = ∫(2x)/(√(3-2x^2))dx cominciando dal primo raccogliendo un 3 dentro la radice I_1 = ∫(1)/(√(3(1-(2)/(3)x^2)))dx = e grazie alle proprietà delle radici, diventa = ∫(1)/(√(3)√(1-(2)/(3)x^2))dx = Dobbiamo a questo punto ricondurlo ad un integrale notevole che ha come risultato un arcoseno a meno di costanti additive e per fare ciò abbiamo bisogno delle proprietà delle potenze con cui esprimeremo (2)/(3)x^2 sotto forma di un unico quadrato, ossia (√((2)/(3))x)^2 ; = (1)/(√(3))∫(1)/(√(1-(2)/(3)x^2))dx = (1)/(√(3))∫(1)/(√(1-(√((2)/(3))x)^2))dx = Se al numeratore dell'integranda apparisse la derivata di (√((2)/(3))x), ossia √((2)/(3))x allora avremmo portato a casa il risultato: basta moltiplicare e dividere per √((2)/(3)) ; = (1)/(√(3))∫(1)/(√(1-(√((2)/(3))x)^2))·√((2)/(3))·√((3)/(2))dx = (1)/(√(3))·√((3)/(2))∫(√((2)/(3)))/(√(1-(√((2)/(3))x)^2))dx = Semplifichiamo in modo opportuno le frazioni e risolviamo l'integrale dato = (1)/(√(2)) arcsin(√((2)/(3))x)+c_1 con c_1 costante reale additiva. L'integrale I_1 è risolto, manca il secondo integrale, ossia I_2 = ∫(2x)/(√(3-2x^2))dx = che possiamo affrontare scrivendo la radice come una potenza con esponente fratto. = ∫(2x)/((3-2x^2)^((1)/(2)))dx = Passiamo il denominatore al numeratore, ottenendo una potenza con esponente negativo = ∫ 2x (3-2x^2)^(-(1)/(2))dx = Ci siamo ricondotti ad un integrale di una potenza in forma generale, o quasi, ci serve infatti la derivata di 3-2x^2, ossia-4x: per far apparire le costanti moltiplicative che ci servono moltiplichiamo e dividiamo per-2 ; = -(1)/(2)∫ (-4x (3-2x^2)^(-(1)/(2)))dx = -(1)/(2)((3-2x^2)^(-(1)/(2)+1))/(-(1)/(2)+1)+c_2 = Eseguiamo le operazioni rimaste e otteniamo ; = -(1)/(2)((3-2x^2)^((1)/(2)))/((1)/(2))+c_2 = -√(3-2x^2)+c_2 E anche l'integrale I_2 è a posto. Non ci resta che scrivere il risultato dell'integrale di partenza: ; ∫(1+2x)/(√(3-2x^2))dx = I_1+I_2 = (arcsin(√((2)/(3))x))/(√(2))+c_1-√(3-2x^2)+c_2 = (arcsin(√((2)/(3))x))/(√(2))-√(3-2x^2)+k dove k = c_1+c_2 è una costante reale additiva. L'esercizio è terminato. Prima di salutarci vorrei consigliarti la scheda di esercizi risolti sugli integrali indefiniti con cui puoi allenarti in vista dell'esame, e nel caso servisse il tool che ti permette di calcolare gli integrali online, molto utile per controllare il risultato di un integrale.