Soluzioni
  • Per risolvere l'integrale indefinito

    \int\frac{1+2x}{\sqrt{3-2x^2}}dx=

    conviene spezzare il numeratore e scrivere la frazione nella somma di due frazioni

    =\int\left(\frac{1}{\sqrt{3-2x^2}}+\frac{2x}{\sqrt{3-2x^2}}\right)dx=

    e utilizzare la linearità dell'integrale per esprimere l'integrale della somma come somma di integrali

    =\int\frac{1}{\sqrt{3-2x^2}}dx+\int\frac{2x}{\sqrt{3-2x^2}}dx=(\bullet)

    Risolviamo separatamente i due integrali

    \\ I_1=\int\frac{1}{\sqrt{3-2x^2}}dx\\ \\ \\ I_2=\int\frac{2x}{\sqrt{3-2x^2}}dx

    cominciando dal primo raccogliendo un 3 dentro la radice

    I_1=\int\frac{1}{\sqrt{3\left(1-\frac{2}{3}x^2\right)}}dx=

    e grazie alle proprietà delle radici, diventa

    =\int\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{1-\frac{2}{3}x^2}}dx=

    Dobbiamo a questo punto ricondurlo ad un integrale notevole che ha come risultato un arcoseno a meno di costanti additive e per fare ciò abbiamo bisogno delle proprietà delle potenze con cui esprimeremo \frac{2}{3}x^2 sotto forma di un unico quadrato, ossia \left(\sqrt{\frac{2}{3}}x\right)^2

    \\ =\frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{3}x^2}}dx= \\ \\ \\ = \frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{2}{3}}x\right)^2}}dx=

    Se al numeratore dell'integranda apparisse la derivata di \left(\sqrt{\frac{2}{3}}x\right), ossia \sqrt{\frac{2}{3}}x allora avremmo portato a casa il risultato: basta moltiplicare e dividere per \sqrt{\frac{2}{3}}

    \\ =\frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{2}{3}x}\right)^2}}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}dx= \\ \\ \\ = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}\int\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{2}{3}}x\right)^2}}dx=

    Semplifichiamo in modo opportuno le frazioni e risolviamo l'integrale dato

    =\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}x\right)+c_1

    con c_1 costante reale additiva.

    L'integrale I_1 è risolto, manca il secondo integrale, ossia

    I_2=\int\frac{2x}{\sqrt{3-2x^2}}dx=

    che possiamo affrontare scrivendo la radice come una potenza con esponente fratto.

    =\int\frac{2x}{(3-2x^2)^{\frac{1}{2}}}dx=

    Passiamo il denominatore al numeratore, ottenendo una potenza con esponente negativo

    =\int 2x (3-2x^2)^{-\frac{1}{2}}dx=

    Ci siamo ricondotti ad un integrale di una potenza in forma generale, o quasi, ci serve infatti la derivata di 3-2x^2, ossia -4x: per far apparire le costanti moltiplicative che ci servono moltiplichiamo e dividiamo per -2

    \\ =-\frac{1}{2}\int (-4x (3-2x^2)^{-\frac{1}{2}})dx= \\ \\ \\ =-\frac{1}{2}\frac{(3-2x^2)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c_2=

    Eseguiamo le operazioni rimaste e otteniamo

    \\ =-\frac{1}{2}\frac{(3-2x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c_2= \\ \\ \\ = -\sqrt{3-2x^2}+c_2

    E anche l'integrale I_2 è a posto. Non ci resta che scrivere il risultato dell'integrale di partenza:

    \\ \int\frac{1+2x}{\sqrt{3-2x^2}}dx= I_1+I_2= \\ \\ \\ =\frac{\arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}x}\right)}{\sqrt{2}}+c_1-\sqrt{3-2x^2}+c_2= \\ \\ \\ = \frac{\arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}x}\right)}{\sqrt{2}}-\sqrt{3-2x^2}+k

    dove k=c_1+c_2 è una costante reale additiva. L'esercizio è terminato.

    Prima di salutarci vorrei consigliarti la scheda di esercizi risolti sugli integrali indefiniti con cui puoi allenarti in vista dell'esame, e nel caso servisse il tool che ti permette di calcolare gli integrali online, molto utile per controllare il risultato di un integrale.

    Risposta di Ifrit
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