Soluzioni
  • Abbiamo una parabola di equazione (ti consiglio di tenere a portata di mano il formulario sulla parabola)

    \gamma:y= -x^2-2x+3

    Troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse:

    \gamma\cap X=\begin{cases}y=-x^2-2x+3\\ y=0\end{cases}

    che coincide con l'equazione di secondo grado:

    -x^2-2x+3=0

    che equivale a 

    x^2+2x-3=0

    Calcoliamo il discriminate:

    \Delta= 4+12= 16>0

    x_A= \frac{2-4}{2}= -1

    x_B=\frac{2+4}{2}=3

     

    Benissimo, ora calcoliamo l'intersezione con la retta t: 3x+2y=0 .

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y= -x^2-2x+3\\ y= -\frac{3}{2}x\end{cases}

    Da cui otteniamo che:

    -\frac{3}{2}x= -x^2-2x+3\implies -3x= -2x^2-4x+6

    L'equazione quindi si riscrive come:

    -2x^2-x+6=0

    Risolvendo otteniamo che:

    C(-2, 3)

    Mentre

    D\left(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}\right)

     

    Calcoliamo l'area del segmento parabolico AC

    Costruiamo la retta passante tra A e C, usando la formula per la retta passante per due punti

    r_{AC}: \frac{y-0}{3-0}= \frac{x+3}{-2-(-3)}\implies y=3x+9

     

    Determiniamo la retta s: y= 3x+k parallela a r_{AC} e tangente alla parabola. Per parallelismo tra le due rette, i coefficienti angolari devono coincidere.

    \begin{cases}y=3x+k\\ y= -x^2-2x+3\end{cases}

    da cui otteniamo che:

    3x+k= -x^2-2x+3

    x^2+2x+3x-3+k=0

    Calcoliamo il delta e imponiamo la condizione di tangenza:

    \Delta= 25-4(-3+k)=0\implies 25+12-4k=0

    -4k= -37\implies k= \frac{37}{4}

    La retta s è dunque:

    s: y= 3x+\frac{37}{4}\implies -12x+ 4y-37=0

    Calcoliamo a questo punto la distanza tra A e s che rappresenta l'altezza del rettangolo che contiene il segmento parabolico:

    h=\mbox{dist}(A, s)= \frac{|-12(-3)-37|}{\sqrt{12^2+4^2}}=\frac{1}{4\sqrt{10}}

    La base del suddetto rettangolo è data dalla distanza tra i due punti A e C:

    AC= \sqrt{(-2+3)^2+3^2}=\sqrt{10}  

     

    L'area del rettangolo è:

    A= AC\times h=\frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{10}}=4

    L'area del segmento parabolico è dunque:

    A_p=\frac{2}{3}\cdot 4}= \frac{8}{3}

     

    A questo punto calcoliamo l'area del triangolo AOC e sommiamolo con l'area del segmento parabolico otterremo la soluzione:

    Il triangolo ha base 3 (corrisponde al valore assoluto della ascissa di A), l'altezza è 3 (corrisponde all'ordinata di C)

    dunque:

    A_T= \frac{3\times 3}{2}=\frac{9}{2}

     

    L'area interessata è:

    A_{S}= A_T+A_P=\frac{9}{2}+\frac{8}{3}=\frac{43}{6}

     

    Fine!

    Risposta di Ifrit
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