Area della regione delimitata da una parabola

Abbiamo una parabola di equazione (ti consiglio di tenere a portata di mano il formulario sulla parabola)

Troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse:

che coincide con l'equazione di secondo grado:

che equivale a 

Calcoliamo il discriminate:

Benissimo, ora calcoliamo l'intersezione con la retta .

Impostiamo il sistema:

Da cui otteniamo che:

L'equazione quindi si riscrive come:

Risolvendo otteniamo che:

Mentre

Calcoliamo l'area del segmento parabolico

Costruiamo la retta passante tra A e C, usando la formula per la retta passante per due punti

Determiniamo la retta parallela a e tangente alla parabola. Per parallelismo tra le due rette, i coefficienti angolari devono coincidere.

da cui otteniamo che:

Calcoliamo il delta e imponiamo la condizione di tangenza:

La retta s è dunque:

Calcoliamo a questo punto la distanza tra A e s che rappresenta l'altezza del rettangolo che contiene il segmento parabolico:

La base del suddetto rettangolo è data dalla distanza tra i due punti A e C:

L'area del rettangolo è:

L'area del segmento parabolico è dunque:

A questo punto calcoliamo l'area del triangolo AOC e sommiamolo con l'area del segmento parabolico otterremo la soluzione:

Il triangolo ha base 3 (corrisponde al valore assoluto della ascissa di A), l'altezza è 3 (corrisponde all'ordinata di C)

dunque:

L'area interessata è:

Fine!