Max e min di una funzione a 2 variabili polinomiale

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Ciao, devo studiare i max e i min di una funzione a due variabili definita da un polinomio: devo trovare i punti di massimo e minimo di

 

f(x,y) = x^2+xy-y^2

 

Grazie!

Domanda di luna12

 
Soluzioni

  • Ciao luna12 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Seguiamo il procedimento per i massimi e minimi in due variabili. Abbiamo la funzione di due variabili:

    f(x, y) = x^2+x y-y^2,

    continua e derivabile su R^2

    i punti di massimo e di minimo annullano il gradiente associato alla funzione. Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad x e a y:

    (partial f)/(partial x) = 2x+y

    (partial f)/(partial y) = x-2y

    Impostiamo il sistema:

    2x+y = 0 ; x-2y = 0

    Risolvendo abbiamo che:

    x = 0, y = 0

    Il punto (0,0) è un punto critico per la funzione.

    Valutiamo la matrice Hessiana:

    H(x, y) = [f_(xx)(x, y) f_(xy)(x, y) ; f_(y, x)(x, y) f_(yy)(x, y)]

    dove:

    f_(xx)(x, y) = 2

    f_(x, y)(x, y) = f_(y, x)(x, y) = 1

    f_(y,y)(x, y) = -2

    La matrice hessiana è :

    H(0, 0) = [2 1 ; 1 -2]

    Il cui determinante vale det H(x, y) = -5.

    Da queste informazioni possiamo concludere che la funzione f ha un punto di sella nel punto (0, 0).

    Risposta di Ifrit

  • L'esercizio faceva parte di un test dove le risposte erano:

    punto di massimo in (0,0)

    punto di minimo in (0,0)

    punto di sella (1,1)

    non ci sono punti di estremo

    quindi in questo caso la risposta corretta sarebbe l'ultima?

    Risposta di luna12

  • Sì sarebbe l'ultima. Non è punto né di massimo né di minimo. Il punto di sella ce l'hai in (0, 0). 

    Risposta di Ifrit
 
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