Soluzioni
  • Ciao Xavier, per poter rispondere alla domanda è necessario determinare la matrice associata all'applicazione lineare: per farlo, bisogna prima di tutto ricavare una forma per l'immagine del vettore v_3. Grazie alla linearità dell'applicazione possiamo riscrivere

    T(v_1+v_2+v_3)=T(v_1)+T(v_2)+T(v_3)

    e quindi dalla terza espressione sull'immagine

    T(v_3)=-T(v_1)-T(v_2)+hv_1+hv_2+(h-1)v_3

    Facendo i conti si trova (controlla)

    T(v_3)=hv_3-v_3

    Quindi la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base \{v_1,v_2,v_3\} è data da

    \left[\begin{matrix}h&h-1&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&h-1\end{matrix}\right]

    Ora si tratta solamente di calcolare gli autovalori al variare di h. Cosa ti risulta?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Mi puoi dire qual'è la risposta! Ne va della mia salute CryTongue

    Risposta di xavier310
  • Bè dai, è una matrice triangolare superiore, chiamiamola A. Cerchiamo gli zeri del polinomio caratteristico

    det(A-\lambda I)=0

    ovvero

    det\left[\begin{matrix}h-\lambda&h-1&-1\\ 0&1-\lambda&1\\ 0&0&h-1-\lambda\end{matrix}\right]=0

    Il determinante di una triangolare superiore è il prodotto dei termini della diagonale principale, quindi

    (h-\lambda)(1-\lambda)(h-\lambda-1)=0

    Da cui gli autovalori

    \lambda=h

    \lambda=1

    \lambda=h-1

    Quindi se h\neq 2 e se h\neq 1 abbiamo tre autovalori reali distinti e la matrice è evidentemente diagonalizzabile.

    Se h=1, si trovano due autovalori: \lambda=1 e \lambda=0, di cui il primo con molteplicità geometrica e molteplicità algebrica entrambe due e il secondo come molteplicità geometrica e molteplicità algebrica 1. In tal caso la matrice è dunque diagonalizzabile.

    Se invece h=2 si trovano due autovalori \lambda=2 e \lambda=1 e in particolare quest'ultimo ha molteplicità algebrica due ma molteplicità geometrica uno. In tal caso la matrice non è diagonalizzabile.

    La risposta è la 3).

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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