Soluzioni
  • Xavier arrivo :P

    Risposta di Ifrit
  • Per la 1) è vera infatti:

    AA^T=I\implies det(AA^T)=1\implies det(A)det(A^T)=1

    Poiché A e la sua trasposta hanno lo stesso determinate allora:

    det(A)^2=1\implies det(A)=\pm 1

    2) La due è falsa. 

    Puoi considerare la matrice 

    \begin{pmatrix}\frac{1}{2} &0\\ 0&2\end{pmatrix}

    AA^T=\begin{pmatrix}\frac{1}{4} &0\\ 0&4\end{pmatrix}\ne I

     

    3) Su questa non so risponderti su due piedi, ci devo pensare.

     

    4) Vero, interviene in nostro soccorso Binet :)

    Risposta di Ifrit
  • Per la 4, il teorema di Binet in che modo influisce sul prodotto tra matrici?

    Risposta di xavier310
  • 4) Se 

    A A^T=O

    \mbox{det}(A A^T)=0\implies \det(A)\det(A^T)=0

    Poiché una matrice ha lo stesso determinante della trasposta allora \det(A^T)=\det(A)

    L'equazione 

    \det(A)\det(A^T)=0

    si riscrive come:

    \det(A)^2=0\implies det(A)=0

    _______________________________________

    Per quanto riguarda l'altra domanda, la risposta è vera:

    La matrice AA^T 

    ha sulla diagonale principale la somma dei quadrati degli elementi di A presi n a n. La somma dei quadrati è uguale a zero se ogni quadrato è zero, quindi la matrice A è nulla. Questa è l'unica giustificazione che mi sento di dare.

    Risposta di Ifrit
 
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