Quesito su determinante e matrice trasposta

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Sono alle prese con alcuni quesiti sui determinanti e sulle matrici trasposte. Dovrei usare le proprietà del determinante di una matrice, il teorema di Binet e la definizione di matrice trasposta per rispondere. Potreste aiutarmi, per favore?

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n, sia A^(T) la sua trasposta e siano Id_n e O_(n) rispettivamente la matrice identità e la matrice nulla. Stabilire quali tra le seguenti implicazioni sono corrette

 

(a) AA^(T) = Id_(n) → det(A) = ±1 ; (b) det(A) = 1 → AA^(T) = Id_n ; (c) AA^(T) = O_(n) → det(A) = 0

 

Grazie.

Domanda di xavier310

 
Soluzioni

  • Consideriamo una matrice quadrata A di ordine n, dobbiamo stabilire se le seguenti implicazioni sono vere oppure false

    (a) AA^(T) = Id_(n) → det(A) = ±1 ; (b) det(A) = 1 → AA^(T) = Id_n ; (c) AA^(T) = O_(n) → det(A) = 0

    in cui A^(T) è la trasposta di A; Id_(n) è la matrice identità di ordine n; O_n è la matrice nulla; det(A) è il determinante di A.

    (a) L'implicazione

    AA^(T) = Id_(n) → det(A) = ±1

    è certamente vera e si dimostra con il teorema di Binet.

    Se, infatti, applichiamo il determinante ai due membri dell'uguaglianza, ossia se scriviamo

    det(AA^(T)) = det(Id_(n))

    e se spezziamo il determinante del prodotto A A^(T) nel prodotto dei determinanti delle singole matrici, la relazione diventa

    det(A)det(A^(T)) = det(Id_(n))

    In base alle proprietà del determinante, det(A^(T)) coincide con quello di det(A), e inoltre det(Id_(n)) = 1, perciò l'uguaglianza diventa

    det(A)·det(A) = 1 → [det(A)]^2 = 1

    Ci siamo! Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado nell'incognita det(A) ed è soddisfatta se

    det(A) = -1 ∨ det(A) = 1

    L'implicazione (a) è vera!

    (b) L'implicazione

    det(A) = 1 → AA^(T) = Id_n

    è falsa. Per confutarla basta considerare la matrice

    A = [(1)/(2) 0 ; 0 2]

    Proprio perché è una matrice diagonale, il determinante di A coincide col prodotto degli elementi sulla diagonale principale

    det(A) = (1)/(2)·2 = 1

    e A^(T) coincide con A.

    Alla luce di quanto detto, il prodotto matriciale AA^(T) coincide con AA e vale:

    AA^(T) = AA = [(1)/(2) 0 ; 0 2][(1)/(2) 0 ; 0 2] = [(1)/(4) 0 ; 0 4]

    Il risultato è evidentemente diverso dalla matrice identità, per cui l'implicazione

    det(A) = 1 → AA^(T) = Id_n

    è falsa.

    (c) L'implicazione

    AA^(T) = O_(n) → det(A) = 0

    è vera e si dimostra usando ancora una volta il teorema di Binet.

    Passiamo ai determinanti dei due membri

    det(AA^(T)) = det(O_(n))

    e spezziamo il determinante del prodotto nel prodotto dei determinanti

    det(A)det(A^(T)) = det(O_n)

    Poiché il determinante di A^(T) uguaglia quello di A, e poiché il determinante della matrice nulla è 0, l'uguaglianza diventa

    det(A)det(A) = 0 → [det(A)]^2 = 0

    da cui

    det(A) = 0

    come volevamo.

    Risposta di Ifrit
 
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