Area della superficie laterale della piramide

Question

Devo risolvere un problema sull'area della superficie laterale di una piramide, mi potete spiegare come svolgerlo per favore? Una piramide retta è alta 7 cm ed ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti differiscono di 24 cm e stanno nel rapporto 3/4. Calcola: l'area della superficie laterale della piramide; lo spigolo del cubo avente la superficie laterale equivalente alla superficie totale della piramide. (I risultati sono: 3600 cm^2; 42 cm)

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Ciao cifratonda :) Il problema che proponi ha per protagonista una piramide retta. Di essa conosciamo l'altezza • , , h = 7 , ,cm e sappiamo che il suo poligono di base è un triangolo rettangolo. La differenza dei suoi cateti è • , ,D = c_1-c_2 = 24 , ,cm e il loro rapporto è (3)/(4) • , ,c_2 = (3)/(4)c_1. Dovremo calcolare la superficie laterale della piramide e lo spigolo del cubo la cui superficie laterale coincide con la superficie totale della piramide: • , ,S_(lat , ,cubo) = S_(tot , , piramide). Bene, una volta scritte tutte le informazioni che l'esercizio ci dà, possiamo iniziare calcolando i cateti del triangolo rettangolo di base, sfruttando le formule sui problemi con i segmenti con differenza e rapporto. c_1 = D:(4-3)×4 = 24:1×4 = 96 , ,cm c_2 = D:(4-3)×3 = 24:1×3 = 72 , , cm Grazie al teorema di Pitagora possiamo determinare l'ipotenusa del triangolo rettangolo. i = √(c_1^2+c_2^2) = √(96^2+72^2) = √(14400) = 120 , ,cm L'area del triangolo è: A_(T) = (c_1×c_2)/(2) = (96×72)/(2) , ,cm^2 = 3456 , , cm^2 Il suo perimetro è invece: P_(T) = i+c_1+c_2 = 120+96+72 = 288 , ,cm Quello che ci serve è l'apotema di base, che è il raggio del cerchio inscritto nel triangolo rettangolo che può essere trovato tramite la formula r = (2×A_(T))/(P_(T)) = (2×3456)/(288) = 24 , ,cm Quello che ci serve è sostanzialmente la superficie laterale della piramide che è formata da tre triangoli che hanno per basi i lati dei triangolo di base. Ci manca solo l'altezza dei tre triangoli che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora d = √(h^2+r^2) = √(7^2+24^2) = 25 , ,cm Si ha che: A_(1 , ,lat) = (c_1×d)/(2) = (96×25)/(2) = 1200 , ,cm^2 A_(2 , ,lat) = (c_2×d)/(2) = (72×25)/(2) = 900 , ,cm^2 A_(3 , , lat) = (i×d)/(2) = (120×25)/(2) = 1500 , ,cm^2 Sommiamo le tre aree così da ottenere la superficie laterale della piramide S_(lat) = 900+1200+1500 = 3600 , ,cm^2 La superficie totale sarà data dalla somma tra superficie laterale e la superficie di base: S_(tot , ,piramide) = S_(lat)+S_(base) = 3600+3456 = 7056 , ,cm^2 La superficie totale della piramide coincide con la superficie laterale del cubo, dunque S_(lat , , cubo) = 7056 , ,cm^2 Per le formule inverse del cubo possiamo trovarne lo spigolo ell = √(S_(lat , , cubo):4) = √(1764) = 42 , ,cm.