Soluzioni
  • Ciao cifratonda :) 

    Il problema che proponi ha per protagonista una piramide retta. Di essa conosciamo l'altezza

    \bullet\,\, h= 7\,\,cm

    e sappiamo che il suo poligono di base è un triangolo rettangolo. La differenza dei suoi cateti è

    \bullet\,\,D=c_1-c_2=24\,\,cm

    e il loro rapporto è \frac{3}{4}

    \bullet\,\,c_2= \frac{3}{4}c_1.

    Dovremo calcolare la superficie laterale della piramide e lo spigolo del cubo la cui superficie laterale coincide con la superficie totale della piramide:

    \bullet\,\,S_{lat\,\,cubo}=S_{tot\,\, piramide}.

    Bene, una volta scritte tutte le informazioni che l'esercizio ci dà, possiamo iniziare calcolando i cateti del triangolo rettangolo di base, sfruttando le formule sui problemi con i segmenti con differenza e rapporto.

    c_1= D:(4-3)\times 4= 24:1\times 4=96\,\,cm

    c_2=D:(4-3)\times 3=24:1\times 3=72\,\, cm

    Grazie al teorema di Pitagora possiamo determinare l'ipotenusa del triangolo rettangolo. 

    i=\sqrt{c_1^2+ c_2^2}=\sqrt{96^2+72^2}=\sqrt{14400}=120\,\,cm

    L'area del triangolo è:

    A_{T}=\frac{c_1\times c_2}{2}=\frac{96\times 72}{2}\,\,cm^2= 3456\,\, cm^2

    Il suo perimetro è invece:

    P_{T}=i+c_1+c_2=120+96+72=288\,\,cm

    Quello che ci serve è l'apotema di base, che è il raggio del cerchio inscritto nel triangolo rettangolo che può essere trovato tramite la formula

    r=\frac{2\times A_{T}}{P_{T}}= \frac{2\times 3456}{288}=24\,\,cm

    Quello che ci serve è sostanzialmente la superficie laterale della piramide che è formata da tre triangoli che hanno per basi i lati dei triangolo di base. Ci manca solo l'altezza dei tre triangoli che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora

    d=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{7^2+24^2}=25\,\,cm

    Si ha che:

    A_{1\,\,lat}=\frac{c_1\times d}{2}=\frac{96\times 25}{2}=1200\,\,cm^2

    A_{2\,\,lat}=\frac{c_2\times d}{2}=\frac{72\times 25}{2}=900\,\,cm^2

    A_{3\,\, lat}=\frac{i\times d}{2}=\frac{120\times 25}{2}=1500\,\,cm^2

    Sommiamo le tre aree così da ottenere la superficie laterale della piramide

    S_{lat}=900+1200 +1500=3600\,\,cm^2

    La superficie totale sarà data dalla somma tra superficie laterale e la superficie di base:

    S_{tot\,\,piramide}=S_{lat}+S_{base}=3600+3456=7056\,\,cm^2

    La superficie totale della piramide coincide con la superficie laterale del cubo, dunque

    S_{lat\,\, cubo}=7056\,\,cm^2

    Per le formule inverse del cubo possiamo trovarne lo spigolo

    \ell=\sqrt{S_{lat\,\, cubo}:4}=\sqrt{1764}=42\,\,cm.

    Risposta di Ifrit
 
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