Limite con differenza, radice e logaritmo

Question

Devo calcolare il limite di una differenza di funzioni esponenziali con base 3. So che genera una forma indeterminata che però non so risolvere. lim_(x → +∞)(3^(√(x^2-log(x)))-3^(2x)) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → +∞)(3^(√(x^2-log(x)))-3^(2x)) = genera una forma indeterminata [+∞-∞] che possiamo risolvere mettendo in evidenza 3^(2x) = lim_(x → +∞)3^(2x)(3^(√(x^2-log(x))-2x)-1) = Scriviamo il limite del prodotto come prodotto di limiti = lim_(x → +∞)3^(2x)lim_(x → +∞)(3^(√(x^2-log(x))-2x)-1) e calcoliamoli singolarmente. In accordo con l'andamento della funzione esponenziale con base maggiore di 1, il primo limite è+∞. Per calcolare il secondo è richiesta un'analisi più approfondita: cerchiamo di comprendere come si comporta l'esponente della funzione esponenziale all'infinito, ossia studiamo il limite lim_(x → +∞)(√(x^2-log(x))-2x) = Mettiamo in evidenza l'infinito di ordine superiore all'interno del radicando, ossia x^2 = lim_(x → +∞)(√(x^2(1-(log(x))/(x^2)))-2x) = e sfruttiamo la proprietà delle radici sul prodotto, mediante la quale possiamo esprimere la radice quadrata di un prodotto come il prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori, a patto che questi ultimi siano non negativi. = lim_(x → +∞)(√(x^2)√(1-(log(x))/(x^2))-2x) = (•) L'identità che lega la radice quadrata al valore assoluto |x| = √(x^2) per ogni x∈R permette di esprimere il limite nella forma equivalente (•) = lim_(x → +∞)(|x|√(1-(log(x))/(x^2))-2x) = Osserviamo che x tende a+infinito, essa dovrà diventare necessariamente positiva prima o poi, di conseguenza il valore assoluto sparisce senza lasciare traccia = lim_(x → +∞)(x√(1-(log(x))/(x^2))-2x) = A questo punto raccogliamo totalmente x = lim_(x → +∞)x(√(1-(log(x))/(x^2))-2) e scriviamo il risultato di tale limite osservando che il seguente termine fratto è infinitesimo (log(x))/(x^2) → 0 per x → +∞ perché la funzione logaritmica è un infinito di ordine inferiore rispetto alla potenza lim_(x → +∞)x(√(1-(log(x))/(x^2))-2) = [+∞·(1-2)] = -∞ Grazie al risultato possiamo finalmente calcolare il valore del limite dato dalla traccia lim_(x → +∞)3^(2x)lim_(x → +∞)(3^(√(x^2-log(x))-2x)-1) = [+∞·(3^(-∞)-1)] = [+∞·(-1)] = -∞ Osserviamo che il limite è-∞ per via dell'andamento della funzione esponenziale in un intorno di-∞ e per le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.