Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to+\infty}(3^{\sqrt{x^2-\log(x)}}-3^{2x})=

    genera una forma indeterminata [+\infty-\infty] che possiamo risolvere mettendo in evidenza 3^{2x}

    =\lim_{x\to+\infty}3^{2x}(3^{\sqrt{x^2-\log(x)}-2x}-1)=

    Scriviamo il limite del prodotto come prodotto di limiti

    =\lim_{x\to+\infty}3^{2x}\lim_{x\to+\infty}(3^{\sqrt{x^2-\log(x)}-2x}-1)

    e calcoliamoli singolarmente.

    In accordo con l'andamento della funzione esponenziale con base maggiore di 1, il primo limite è +\infty.

    Per calcolare il secondo è richiesta un'analisi più approfondita: cerchiamo di comprendere come si comporta l'esponente della funzione esponenziale all'infinito, ossia studiamo il limite

    \lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-\log(x)}-2x)=

    Mettiamo in evidenza l'infinito di ordine superiore all'interno del radicando, ossia x^2

    =\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2\left(1-\frac{\log(x)}{x^2}\right)}-2x\right)=

    e sfruttiamo la proprietà delle radici sul prodotto, mediante la quale possiamo esprimere la radice quadrata di un prodotto come il prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori, a patto che questi ultimi siano non negativi.

    =\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2}\sqrt{1-\frac{\log(x)}{x^2}}-2x\right)=(\bullet)

    L'identità che lega la radice quadrata al valore assoluto

    |x|=\sqrt{x^2} \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    permette di esprimere il limite nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\left(|x|\sqrt{1-\frac{\log(x)}{x^2}}-2x\right)=

    Osserviamo che x tende a +infinito, essa dovrà diventare necessariamente positiva prima o poi, di conseguenza il valore assoluto sparisce senza lasciare traccia

    =\lim_{x\to+\infty}\left(x\sqrt{1-\frac{\log(x)}{x^2}}-2x\right)=

    A questo punto raccogliamo totalmente x

    =\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{1-\frac{\log(x)}{x^2}}-2\right)

    e scriviamo il risultato di tale limite osservando che il seguente termine fratto è infinitesimo

    \frac{\log(x)}{x^2}\to 0\ \ \ \mbox{per} \ x\to +\infty

    perché la funzione logaritmica è un infinito di ordine inferiore rispetto alla potenza

    \lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{1-\frac{\log(x)}{x^2}}-2\right)=[+\infty\cdot (1-2)]=-\infty

    Grazie al risultato possiamo finalmente calcolare il valore del limite dato dalla traccia

    \lim_{x\to+\infty}3^{2x}\lim_{x\to+\infty}(3^{\sqrt{x^2-\log(x)}-2x}-1)=[+\infty\cdot (3^{-\infty}-1)]=[+\infty\cdot (-1)]=-\infty

    Osserviamo che il limite è -\infty per via dell'andamento della funzione esponenziale in un intorno di -\infty e per le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

    Risposta di Ifrit
 
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