Soluzioni
  • Ciao luna12 arrivo :D

     

    Risposta di Ifrit
  • Ciao Luna12, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Abbiamo una funzione in due variabili:

    f(x, y)= 4x+6y

    ed il vincolo:

    g(x, y)= x^2+y^2-13=0

    Io utilizzerò il moltiplicatori di Lagrange.

    Osserviamo che x^2+y^2=13 è un compatto e per Weierstrass la nostra funzione ammette massimo e minimo assoluti.

    Consideriamo la funzione:

    L(x, y, \lambda):= f(x, y)-\lambda g(x, y)= 4x+6y-\lambda (x^2+y^2-13)

    Cerchiamo i punti stazionari di L ossia i punti

    (x, y, \lambda) per i quali:

    \nabla L(x, y, \lambda)=(0, 0, 0)

    Costruiamo il sistema imponendo che le derivate parziali rispetto ad x, y e lambda siano uguali a zero.

    \begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x}(x, y, \lambda)=4-2\lambda x=0\\ \frac{\partial L}{\partial y}(x, y, \lambda)= 6-2\lambda y=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}(x, y, \lambda) =-(x^2+y^2-13)=0 \end{cases}

     

    Dobbiamo quindi  risolvere il sistema:

    \begin{cases}4-2\lambda x=0\\6-2\lambda y=0\\ -(x^2+y^2-13)=0 \end{cases}

    Risolvendo il sistema abbiamo che:

     

    x_1=-2, y_1= -3, \lambda_1=-1

    e

    x_2=2, y_2=3, \lambda_2=1

     

    Di conseguenza i punti stazionari vincolati sono:

     

    (x_1, y_1)= (-2, -3)

    e

    (x_2, y_2)= (2, 3)

    Valutiamo la funzione f in questi punti per vedere chi è il massimo e chi è il minimo:

    f(x_1, y_1)= 4\cdot x_1+6\cdot y_1= 4\cdot (-2)+6\cdot (-3)= -8-18= -26

    f(x_2, y_2)= 4\cdot x_2+6\cdot y_2= 4\cdot (2)+6\cdot (3)= 8+18= 26

     

    Il punto di minimo è (-2,-3)

    il punto di massimo è (2, 3)

     

    Finito :)

    Risposta di Ifrit
  • Non ho capito il metodo con il quale costruiamo il sistema e lo andiamo a risolvere

    Risposta di luna12
  • In pratica ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x y e z della lagrangiana L, e ho imposto che fossero uguali a zero ;)

    Poi ho risolto il sistema :)

    Risposta di Ifrit
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