massimo e minimo vincolato

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Determinare i punti di estremo della funzione f(x, y) = 4x + 6y, sotto il vincolo x2 + y2 = 13

Domanda di luna12

 
Soluzioni

  • Ciao luna12 arrivo :D

     

    Risposta di Ifrit

  • Ciao Luna12, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Abbiamo una funzione in due variabili:

    f(x, y) = 4x+6y

    ed il vincolo:

    g(x, y) = x^2+y^2-13 = 0

    Io utilizzerò il moltiplicatori di Lagrange.

    Osserviamo che x^2+y^2 = 13 è un compatto e per Weierstrass la nostra funzione ammette massimo e minimo assoluti.

    Consideriamo la funzione:

    L(x, y, λ): = f(x, y)-λ g(x, y) = 4x+6y-λ (x^2+y^2-13)

    Cerchiamo i punti stazionari di L ossia i punti

    (x, y, λ) per i quali:

    nabla L(x, y, λ) = (0, 0, 0)

    Costruiamo il sistema imponendo che le derivate parziali rispetto ad x, y e lambda siano uguali a zero.

    (partial L)/(partial x)(x, y, λ) = 4-2λ x = 0 ; (partial L)/(partial y)(x, y, λ) = 6-2λ y = 0 ; (partial L)/(partial λ)(x, y, λ) = -(x^2+y^2-13) = 0

     

    Dobbiamo quindi  risolvere il sistema:

    4-2λ x = 0 ; 6-2λ y = 0 ;-(x^2+y^2-13) = 0

    Risolvendo il sistema abbiamo che:

     

    x_1 = -2, y_1 = -3, λ_1 = -1

    e

    x_2 = 2, y_2 = 3, λ_2 = 1

     

    Di conseguenza i punti stazionari vincolati sono:

     

    (x_1, y_1) = (-2,-3)

    e

    (x_2, y_2) = (2, 3)

    Valutiamo la funzione f in questi punti per vedere chi è il massimo e chi è il minimo:

    f(x_1, y_1) = 4·x_1+6·y_1 = 4·(-2)+6·(-3) = -8-18 = -26

    f(x_2, y_2) = 4·x_2+6·y_2 = 4·(2)+6·(3) = 8+18 = 26

     

    Il punto di minimo è (-2,-3)

    il punto di massimo è (2, 3)

     

    Finito :)

    Risposta di Ifrit

  • Non ho capito il metodo con il quale costruiamo il sistema e lo andiamo a risolvere

    Risposta di luna12

  • In pratica ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x y e z della lagrangiana L, e ho imposto che fossero uguali a zero ;)

    Poi ho risolto il sistema :)

    Risposta di Ifrit
 
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