Soluzioni
  • Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A a coefficienti in un campo \mathbb{K} si definisce come il determinante della matrice A-\lambda Id, dove \lambda è un parametro ed Id è la matrice identità avente stesso ordine della matrice A. Quindi, indicando con p_A(\lambda) il polinomio caratteristico della matrice A, abbiamo

    p_A(\lambda) := \mbox{det}[A-\lambda Id]

    Come vedremo tra poco nel dettaglio, il polinomio caratteristico di una matrice permette di trovare gli autovalori dell'endomorfismo definito dalla matrice.

    Calcolo del polinomio caratteristico

    Facendo riferimento alla definizione data poc'anzi, per scrivere il polinomio caratteristico associato ad una matrice quadrata A occorre:

    - scrivere la matrice \lambda Id, data dal prodotto tra il parametro \lambda e la matrice identità avente stesso ordine della matrice A;

    - sottrarre alla matrice A la matrice \lambda Id;

    - calcolare il determinante della matrice A-\lambda Id; tale determinante sarà proprio il polinomio caratteristico cercato.

    Esempi sul calcolo del polinomio caratteristico

    Negli esercizi si avrà a che fare con matrici quadrate di ordine 2, ordine 3 o, al più, ordine 4; sarà infatti molto raro trovare matrici di ordine superiore all'ordine 4.

    Vediamo quindi tre esempi di calcolo del polinomio caratteristico di una matrice che si differenziano a seconda dell'ordine della matrice.

    Polinomio caratteristico di una matrice 2x2

    Sia

    A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

    una matrice quadrata di ordine 2. Per scrivere il polinomio caratteristico associato ad A calcoliamo anzitutto il seguente prodotto tra matrice e scalare

    \lambda Id = \lambda \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}

    che andremo a sottrarre alla matrice A:

    A-\lambda Id = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}

    Il polinomio caratteristico di A sarà il determinante della matrice così ottenuta, ossia

    \begin{align*}p_A(\lambda) & = \mbox{det}[A-\lambda Id] = \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}= \\ \\ & = (2-\lambda)(1-\lambda) - 0 \cdot 1 = (2-\lambda)(1-\lambda)= \\ \\ & = \lambda^2 -3\lambda+2\end{align*}

    Notiamo che nel caso di una matrice quadrata di ordine 2, il polinomio caratteristico si può ottenere tramite traccia e determinante:

    p_A(\lambda) = \lambda^2-\mbox{tr}(A) \lambda +\mbox{det}(A)

    dove tr(A) indica la traccia della matrice A e det(A) il suo determinante.

    Polinomio caratteristico di una matrice 3x3

    Proponiamoci ora di scrivere il polinomio caratteristico della seguente matrice di ordine 3

    A=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -2\end{pmatrix}

    Svolgimento: moltiplicando il parametro λ per la matrice identità di ordine 3 e sottraendo la matrice così ottenuta dalla matrice A otteniamo

    A-\lambda Id=\begin{pmatrix}-\lambda & -2 & 1 \\ -1 & 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2 & -2-\lambda\end{pmatrix}

    Dobbiamo ora calcolare il determinante di tale matrice. Salvo casi particolarissimi, quali la presenza di due zeri su una riga o su una colonna, per il calcolo del determinante di una matrice di ordine 3 conviene utilizzare la regola di Sarrus.

    Dopo qualche semplice conto (che omettiamo) si avrà

    p_A(\lambda) = \mbox{det}[A-\lambda Id] = \mbox{det}\begin{pmatrix}-\lambda & -2 & 1 \\ -1 & 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2 & -2-\lambda \end{pmatrix}=-\lambda^3+3\lambda+2

    che è proprio il polinomio caratteristico della matrice A.

    Polinomio caratteristico di una matrice 4x4

    Consideriamo la seguente matrice quadrata di ordine 4

    A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{pmatrix}

    Ormai dovrebbe essere chiaro che il polinomio caratteristico è dato dal seguente determinante

    \begin{align*}p_A(\lambda) & = \mbox{det}[A-\lambda Id] = \mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1-\lambda\end{pmatrix} = \\ \\ & = \lambda^4-2\lambda^3+3\lambda^2 \end{align*}

    Avendo a che fare con una matrice con 4 righe e 4 colonne, per calcolare il determinante bisogna necessariamente ricorrere alla regola di Laplace e sviluppare i calcoli rispetto alla riga o colonna che contiene più zeri. ;)

    Radici del polinomio caratteristico

    Limitarsi a scrivere il polinomio caratteristico di una matrice serve a ben poco; in realtà quello che interessa è trovare gli zeri del polinomio caratteristico, i quali corrispondono agli autovalori dell'endomorfismo associato alla matrice.

    Quindi il polinomio caratteristico di una matrice permette di trovare gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice; procedendo con lo studio degli autovalori è poi possibile calcolare gli autovettori dei relativi autospazi e studiare la diagonalizzabilità della matrice.

    Inoltre le radici del polinomio caratteristico permettono di ridurre in forma canonica sia le coniche che le quadriche.

    Proprietà del polinomio caratteristico

    Se A è una matrice quadrata di ordine n, il polinomio caratteristico di A è un polinomio di grado n; inoltre il polinomio caratteristico è invariante per similitudine e trasposizione, ossia due o più matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, così come condividono lo stesso polinomio caratteristico una matrice e la sua trasposta.

    ***

    È davvero tutto; lettura consigliata: autovalori ed autovettori - click! ;)

    Risposta di Galois
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