Soluzioni
  • Il polinomio caratteristico è definito per le sole matrici quadrate, viene usato principalmente per il calcolo degli autovalori e si calcola con il determinante di una particolare matrice.

    Se A è una matrice quadrata di ordine n il suo polinomio caratteristico, che da qui in poi indicheremo con p_A(\lambda), è dato dal determinante della matrice A-\lambda \mbox{Id}_n, dove \lambda è una variabile e \mbox{Id}_n è la matrice identità di ordine n.

    In formule

    p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_n)

    Calcolo del polinomio caratteristico

    Sia A una matrice quadrata di ordine n. Attenendoci alla definizione, per calcolare il polinomio caratteristico di A occorre:

    - scrivere la matrice \lambda \mbox{Id}_n ottenuta moltiplicando la variabile \lambda per la matrice identità avente lo stesso ordine di A;

    - determinare la matrice differenza A-\lambda \mbox{Id}_n;

    - calcolare il determinante della matrice A-\lambda \mbox{Id}_n; il risultato è proprio il polinomio caratteristico di A.

    Esempi sul calcolo del polinomio caratteristico

    Vediamo ora tre esempi sul calcolo del polinomio caratteristico che si differenziano per l'ordine della matrice. Vi proponiamo in particolare esempi sul calcolo del polinomio caratteristico di una matrice quadrata di ordine 2, di ordine 3 e di ordine 4, che sono quelle che si incontrano più frequentemente negli esercizi.

    Polinomio caratteristico di una matrice 2x2

    Sia

    A=\begin{pmatrix}2&1 \\ 0&1\end{pmatrix}

    Come prima cosa determiniamo gli elementi della matrice \lambda \mbox{Id}_2 seguendo le regole del prodotto di una matrice per uno scalare

    \lambda \mbox{Id}_2 = \lambda \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0&\lambda\end{pmatrix}

    Determiniamo poi gli elementi della matrice differenza

    A-\lambda \mbox{Id}_2=\begin{pmatrix}2&1 \\ 0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0&\lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-\lambda & 1-0 \\ 0-0 & 1-\lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}

    Il polinomio caratteristico di A è il determinante della matrice così ottenuta

    \\ p_A(\lambda):=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_n)=\\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} = \\ \\ = (2-\lambda)(1-\lambda) - 0 \cdot 1 = 2-2\lambda-\lambda+\lambda^2 - 0= \\ \\ = \lambda^2-3\lambda+2

    Polinomio caratteristico di una matrice 3x3

    Procediamo al calcolo del polinomio caratteristico della seguente matrice di ordine 3

    A=\begin{pmatrix}0&-2&1 \\ -1&2&-1 \\ -1&2&-2\end{pmatrix}

    Calcoliamo dapprima gli elementi della matrice \lambda \mbox{Id}_3

    \lambda \mbox{Id_3} = \lambda \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda&0&0 \\ 0&\lambda&0 \\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}

    per poi determinare la matrice differenza

    A-\lambda \mbox{Id}_3=\begin{pmatrix}0&-2&1 \\ -1&2&-1 \\ -1&2&-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda&0&0 \\ 0&\lambda&0 \\ 0&0&\lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\lambda&-2&1 \\ -1&2-\lambda&-1 \\ -1&2&-2-\lambda\end{pmatrix}

    e, infine, calcolarne il determinante con la regola di Sarrus (lasciamo a voi il compito di svolgere i calcoli)

    \mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)=\mbox{det}\begin{pmatrix}-\lambda&-2&1 \\ -1&2-\lambda&-1 \\ -1&2&-2-\lambda\end{pmatrix} = -\lambda^3+3\lambda+2

    Polinomio caratteristico di una matrice 4x4

    Consideriamo una matrice quadrata di ordine 4

    A=\begin{pmatrix}1&0&2&0 \\ 0&1&0&-1 \\ -1&0&1&0 \\ 0&1&0&-1 \end{pmatrix}

    Oramai dovrebbe essere chiaro che il polinomio caratteristico è dato dal seguente determinante, che dev'essere calcolato necessariamente con la regola di Laplace.

    \\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_4) = \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda&0&2&0 \\ 0&1-\lambda&0&-1 \\ -1&0&1-\lambda&0 \\ 0&1&0&-1-\lambda \end{pmatrix}= \lambda^4 -2\lambda^3+3\lambda^2

    Proprietà del polinomio caratteristico

    1) Il polinomio caratteristico associato a una matrice di ordine n è un polinomio di grado n della forma

    p_A(\lambda)=(-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1} \mbox{tr}(A) \lambda^{n-1}+...+(-1)^2 a_2 \lambda^2 + (-1)a_1 \lambda + \mbox{det}(A)

    In altri termini due dei suoi coefficienti sono la traccia e il determinante della matrice: il termine noto di p_A(\lambda) è il determinante di A, mentre il coefficiente del termine di grado n-1 è la traccia della matrice A a meno del segno.

    In particolare, se A ha ordine 2, allora

    p_A(\lambda)=\lambda^2-\mbox{tr}(A)\lambda+\mbox{det}(A)

    2) Qualsiasi matrice è radice del suo polinomio caratteristico, così come garantito dal teorema di Cayley-Hamilton.

    3) Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico; in altri termini, il polinomio caratteristico è invariante per similitudine.

    4) Una matrice quadrata e la sua trasposta condividono lo stesso polinomio caratteristico.

    Radici del polinomio caratteristico

    Limitarsi a scrivere il polinomio caratteristico di una matrice serve a ben poco; ciò che è davvero importante sono gli zeri del polinomio caratteristico, che corrispondono agli autovalori associati alla matrice.

    Procedendo con lo studio degli autovalori è possibile calcolare gli autospazi, i relativi autovettori e procedere allo studio della diagonalizzabilità e della triangolarizzabilità della matrice, nonché al calcolo della forma canonica di Jordan.

    In definitiva, il calcolo del polinomio caratteristico è solo il punto da cui si parte per studiare approfonditamente una matrice quadrata o la trasformazione lineare a essa associata.

    ***

    È tutto! Se siete interessati a sapere cos'è e come si calcola il polinomio minimo - click!

    Risposta di Galois
 
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