Dimensione e base della somma di due sottospazi in forma cartesiana

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Ho due sottospazi di R^5 in forma cartesiana e devo calcolare la dimensione e una base del sottospazio somma. Potreste spiegarmi come procedere?

 

Nello spazio vettoriale R^5 siano dati i seguenti sottospazi

 

W = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) | x_1-x_4+x_5 = x_2+x_3 = x_2+x_4 = 0 ; U = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) | x_1+2x_2+x_4 = x_3-x_4 = 0

 

Determinare la dimensione e una base del sottospazio somma W+U.

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Dati i seguenti sottospazi vettoriali in forma cartesiana

    W = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) | x_1-x_4+x_5 = x_2+x_3 = x_2+x_4 = 0 ; U = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) | x_1+2x_2+x_4 = x_3-x_4 = 0

    per ricavare la dimensione e una base del sottospazio somma W+U procediamo in questo modo:

    - determiniamo una base dalle equazioni cartesiane di W e da quelle di U;

    - consideriamo l'unione delle basi trovate che, per definizione, è un sistema di generatori di W+U, ed estraiamo una base dal sistema di generatori. Procediamo!

    Calcolo di una base di W

    Per calcolare una base di W consideriamo il sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni che lo definiscono

    x_1-x_4+x_5 = 0 ; x_2+x_3 = 0 ; x_2+x_4 = 0

    Scriviamo la matrice dei coefficienti associata

    A = [1 0 0 -1 1 ; 0 1 1 0 0 ; 0 1 0 1 0]

    e calcoliamone il rango con il criterio dei minori.

    Il minimo tra il numero di righe e il numero di colonne di A è 3, per cui il suo rango è al più 3.

    Consideriamo la sottomatrice 3×3 che si estrae da A eliminandone le ultime due colonne e calcoliamone il determinante.

    det[1 0 0 ; 0 1 1 ; 0 1 0] =

    per Laplace, riferito alla prima riga

    = (-1)^(1+1)·1·det [1 1 ; 1 0] = 1·(0-1) = -1

    Avendo trovato una sottomatrice di ordine 3 con determinante diverso da zero possiamo affermare che il rango di A è 3 e quindi, per Rouché-Capelli, il sistema ammette ∞^(5-3) = ∞^2 soluzioni, dove 5 è il numero di incognite.

    Calcoliamole: assegniamo alle incognite x_4 e x_5 il ruolo di parametro libero

    x_4 = a ; x_5 = b con a,b ∈ R

    e risolviamo il sistema

    x_1-x_4+x_5 = 0 ; x_2+x_3 = 0 ; x_2+x_4 = 0 ; x_4 = a ; x_5 = b

    con il metodo di sostituzione.

    Sostituiamo x_4 = a e x_5 = b nella prima e nella terza equazione

    x_1-a+b = 0 ; x_2+x_3 = 0 ; x_2+a = 0 ; x_4 = a ; x_5 = b → x_1 = a-b ; x_2+x_3 = 0 ; x_2 = -a ; x_4 = a ; x_5 = b

    Esplicitiamo la seconda equazione in favore di x_3 e sostituiamo x_2 con -a

    x_1 = a-b ; x_3 = -x_2 = a ; x_2 = -a ; x_4 = a ; x_5 = b

    Ci siamo! Le ∞^2 soluzioni sono

    (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (a-b, -a, a, a, b) con a,b ∈ R

    e, scritte come combinazione lineare, forniscono una base di W

    (a-b, -a, a, a, b) = a(1,-1,1,1,0)+b(-1,0,0,0,1) con a,b ∈ R

    dunque

    mathcalB_(W) = (1,-1,1,1,0), (-1,0,0,0,1)

    Calcolo di una base di U

    Il sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni cartesiane di U è

    x_1+2x_2+x_4 = 0 ; x_3-x_4 = 0

    La matrice dei coefficienti associata è

    B = [1 2 0 1 0 ; 0 0 1 -1 0]

    ed ha rango 2, tant'è vero che il minore di ordine due che si ottiene eliminandone la prima, la seconda e la quinta colonna è non nullo

    det[0 1 ; 1 -1] = 0-1 = -1

    Il sistema ammette, allora, ∞^(5-2) = ∞^3 soluzioni. Per calcolarle assegniamo alle incognite x_1, x_2, x_5 il ruolo di parametro libero, che sono quelle corrispondenti alle colonne di B non presenti nel minore non nullo

    x_1 = a ; x_2 = b ; x_5 = c con a,b,c ∈ R

    Risolviamo poi il sistema

    x_1+2x_2+x_4 = 0 ; x_3-x_4 = 0 ; x_1 = a ; x_2 = b ; x_5 = c

    con il metodo di sostituzione.

    a+2b+x_4 = 0 ; x_3 = x_4 ; x_1 = a ; x_2 = b ; x_5 = c → x_4 = -a-2b ; x_3 = x_4 = -a-2b ; x_1 = a ; x_2 = b ; x_5 = c

    Le soluzioni sono

    (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (a, b, -a-2b, -a-2b, c) = a(1,0,-1,-1,0)+b(0,1,-2,-2,0)+c(0,0,0,0,1)

    con a,b,c ∈ R, cosicché una base di U è

    mathcalB_(U) = (1,0,-1,-1,0), (0,1,-2,-2,0), (0,0,0,0,1)

    Dimensione e base del sottospazio somma

    Come anticipato, consideriamo l'insieme formato dall'unione delle basi mathcalB_W e mathcalB_U, che è un sistema di generatori del sottospazio W+U

    mathcalB_W U mathcalB_U = (1,-1,1,1,0), (-1,0,0,0,1), (1,0,-1,-1,0), (0,1,-2,-2,0), (0,0,0,0,1)

    ed estraiamo una base dal sistema di generatori con il criterio dei minori.

    Disponiamo i vettori per colonne in una matrice

    M = [1 -1 1 0 0 ;-1 0 0 1 0 ; 1 0 -1 -2 0 ; 1 0 -1 -2 0 ; 0 1 0 0 1]

    e osserviamo che il suo determinante è nullo, infatti la terza e la quarta riga sono uguali.

    Consideriamo la sottomatrice 4×4 che si ottiene eliminandone la terza riga e la prima colonna

    M_(31) = [-1 1 0 0 ; 0 0 1 0 ; 0 -1 -2 0 ; 1 0 0 1]

    e calcoliamone il determinante con uno sviluppo di Laplace rispetto alla quarta colonna

    det(M_(31)) = (-1)^(4+4)·1·det[-1 1 0 ; 0 0 1 ; 0 -1 -2] =

    per trovare il determinante della matrice 3×3 usiamo ancora Laplace riferito alla seconda riga

    = 1·(-1)^(2+3)·1·det[-1 1 ; 0 -1] = -1·(1-0) = -1

    Avendo trovato un minore di M di ordine 4 possiamo concludere che la dimensione del sottospazio W+U è 4. Inoltre, le colonne di M che contengono le colonne di M_(31) formano una base di W+U, dunque

    mathcalB_(W+U) = (-1,0,0,0,1), (1,0,-1,-1,0), (0,1,-2,-2,0), (0,0,0,0,1)

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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