Determinante del prodotto di una matrice per uno scalare

Question

Devo calcolare il determinante di una matrice di ordine 3 moltiplicata per uno scalare. Senza pensarci più di tanto ho moltiplicato la matrice per lo scalare, per poi calcolare il determinante della matrice risultante con la regola di Sarrus. Sebbene il risultato coincida con quello del libro i conti sono stati davvero proibitivi, dunque vi chiedo se esiste qualche proprietà che mi sfugge sul determinante del prodotto di una matrice per uno scalare. Calcolare il determinante della matrice 6A con A = [1 -1 3 ; 2 4 1 ; 2 3 -5]

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Una delle proprietà del determinante afferma che il determinante del prodotto di uno scalare per una matrice quadrata di ordine è uguale al prodotto tra e il determinante di

La matrice

A = [1 -1 3 ; 2 4 1 ; 2 3 -5]

è di ordine , dunque per calcolare il determinante di basta ricavare al determinante di e moltiplicarlo per

Ricorriamo alla regola di Sarrus e accostiamo ad le sue stesse colonne, scrivendo il tutto senza parentesi

1 -1 3 1 -1 3 ; 2 4 1 2 4 1 ; 2 3 -5 2 3 -5

Calcoliamo la somma tra i prodotti degli elementi lungo le prime tre diagonali principali

1·4·(-5)+(-1)·1·2+3·2·3 = -20-2+18 = -4

e la somma dei prodotti degli elementi che formano le ultime tre antidiagonali

3·4·2+(-1)·2·(-5)+1·1·3 = 24+10+3 = 37

Il determinante di si ottiene sottraendo la seconda somma alla prima

Applichiamo la proprietà del determinante sul prodotto di una matrice per uno scalare, e abbiamo finito

Senza conoscere la suddetta proprietà avremmo dovuto calcolare il prodotto tra la matrice e lo scalare, per poi trovare il determinante della matrice prodotto.

Indubbiamente il risultato sarebbe stato lo stesso, ma nel calcolo del determinante ci saremmo trovati a svolgere prodotti tra numeri a due cifre, che avrebbero richiesto molto più tempo.