Soluzioni
  • Una delle proprietà del determinante afferma che il determinante del prodotto di uno scalare \lambda per una matrice quadrata A di ordine n è uguale al prodotto tra \lambda^n e il determinante di A

    \mbox{det}(\lambda A) = \lambda^n\cdot \mbox{det}(A)

    La matrice

    A=\begin{pmatrix}1&-1&3 \\ 2&4&1 \\ 2&3&-5\end{pmatrix}

    è di ordine n=3, dunque per calcolare il determinante di 6A basta ricavare al determinante di A e moltiplicarlo per 6^n=6^3

    Ricorriamo alla regola di Sarrus e accostiamo ad A le sue stesse colonne, scrivendo il tutto senza parentesi

    \begin{matrix}1&-1&3&1&-1&3 \\ 2&4&1&2&4&1 \\ 2&3&-5&2&3&-5\end{matrix}

    Calcoliamo la somma tra i prodotti degli elementi lungo le prime tre diagonali principali

    \\ 1 \cdot 4 \cdot (-5) + (-1) \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 = \\ \\ = -20-2+18 = -4

    e la somma dei prodotti degli elementi che formano le ultime tre antidiagonali

    \\ 3 \cdot 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 \cdot (-5) + 1 \cdot 1 \cdot 3 = \\ \\ = 24 + 10 + 3 = 37

    Il determinante di A si ottiene sottraendo la seconda somma alla prima

    \mbox{det}(A)=-4-37 = -41

    Applichiamo la proprietà del determinante sul prodotto di una matrice per uno scalare, e abbiamo finito

    \mbox{det}(6A)=6^3 \cdot \mbox{det}(A) = 216 \cdot (-41) = -8856

    Senza conoscere la suddetta proprietà avremmo dovuto calcolare il prodotto tra la matrice e lo scalare, per poi trovare il determinante della matrice prodotto.

    Indubbiamente il risultato sarebbe stato lo stesso, ma nel calcolo del determinante ci saremmo trovati a svolgere prodotti tra numeri a due cifre, che avrebbero richiesto molto più tempo.

    Risposta di Galois
 
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