Problema area di base piramide

In una piramide quadrangolare il perimetro di base supera di 15cm la somma dell'altezza e dell'apotema. Sapendo che l'altezza è uguale ai 12/13 dell'apotema, calcola l'area di base del solido

Domanda di pixetto
Soluzione

Ciao pixetto :)

Indichiamo con ell il lato del quadrato di base, con a l'apotema e con h l'altezza della piramide.

Dato che il perimetro del quadrato è quattro volte il lato, grazie ai dati forniti dal problema sappiamo che

4 ell = h+a+15

h = (12)/(13)a

Sostituiamo questa relazione nella precedente

4 ell = (12)/(13)a+a+15

4 ell = (25)/(13)a+15

Per trovare la misura del lato di base e dell'apotema ci serve un'altra relazione tra lato e apotema.

Tenendo ben presenti le formule sulle piramide regolare abbiamo

ell = 2·√(a^2-h^2) = 2·√(a^2-(144)/(169)a^2) = 2·(5)/(13)a = (10)/(13)a

Eccola trovata. Arrivati a questo punto ci basta sostituire

ell = (10)/(13)a in 4 ell = (25)/(13)a+15

così da ricadere in un'equazione di primo grado

4(10)/(13)a (ell) = (25)/(13)a+15

ossia

(40)/(13)a-(25)/(13)a = 15

eseguiamo la differenza tra frazioni a primo membro e ricaviamo la misura dell'apotema

(15)/(13)a = 15

a = 15·(13)/(15) = 13 cm

La misura del lato di base è data da

ell = (10)/(13)a = 10 cm

e avendo ben presenti le formule sull'area possiamo concludere che

A_(base) = ell^2 = 100 cm^2

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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