Soluzioni
  • Consideriamo il primo limite della funzione integrale

    \lim_{x\to +\infty}\int_{2}^{x}\sqrt{1+t^4}dt

    Per calcolarlo la prima considerazione da fare è che il limite e l'integrale sono operatori monotoni, quindi possiamo limitarci a trovare un'opportuna funzione che minora l'integranda f(t)=\sqrt{1+t^4} e tale per cui sia semplice calcolare l'integrale.

    Tenendo conto che la funzione radice quadrata è una funzione monotona crescente, sussiste la seguente disuguaglianza

    \sqrt{1+t^4}\ge \sqrt{t^4}=t^2

    Per le proprietà degli integrali si ha che

    \int_{2}^{x}\sqrt{1+t^4}dt\ge \int_{2}^{x} t^{2}dt

    A questo punto applichiamo membro a membro il limite per x\to +\infty si ha che

    \lim_{x\to +\infty}\int_{2}^{x}\sqrt{1+t^{4}}dt\ge\lim_{x\to +\infty}\int_{2}^{x}t^{2}dt

    Non resta che risolvere il limite al secondo membro che è molto più semplice rispetto al limite presente al primo membro:

    \lim_{x\to +\infty}\int_{2}^{x}t^2dt=

    Determiniamo una primitiva di t^2 tenendo conto della tabella degli integrali fondamentali:

    =\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{t^3}{3}\right]_{2}^{x}=

    e valutiamo la primitiva scelta agli estremi di integrazione

    =\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{x^3}{3}-\frac{8}{3}\right]=+\infty

    Invocando il teorema del confronto per i limiti, possiamo concludere che il limite a) vale +\infty.

    Dedichiamoci al calcolo del limite b) tenendo conto che f(t)=\sqrt{1+t^4} è una funzione pari, e ricordando l'interpretazione geometrica di integrale come area sottesa dal grafico della funzione Riscrivere il limite come segue

    \\ \lim_{x\to -\infty}\int_{2}^{x}\sqrt{1+t^4}dt= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}-\int_{x}^{2}\sqrt{1+t^4}dt= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\left(-\int_{x}^{-2}\sqrt{1+t^4}dt-\int_{-2}^{2}\sqrt{1+t^4}dt\right)= \\ \ \\ = -\int_{-2}^{2}\sqrt{1+t^4}dt +\lim_{x\to -\infty}-\int_{x}^{2}\sqrt{1+t^4}dt

    dove

    \int_{-2}^{2}\sqrt{1+t^4}dt

    è sicuramente un integrale convergente perché l'integranda è una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [-2,2] (per approfondire - classi di funzioni integrabili), mentre

    \lim_{x\to -\infty}-\int_{x}^{-2}\sqrt{1+t^4}=\lim_{x\to -\infty}\int_{x}^{-2}-\sqrt{1+t^4}dt

    diverge negativamente.

    Per mostrarlo, ragioniamo come prima partendo dalla disuguaglianza

    \sqrt{1+t^4}\ge \sqrt{t^4}=t^2

    Cambiamo segno membro a membro facendo attenzione al fatto che il verso della disuguaglianza si inverte:

    -\sqrt{1+t^4}\le -t^2

    A questo punto integriamo membro a membro

    \int_{x}^{-2}-\sqrt{1+t^4}dt\le \int_{x}^{-2}-t^{2}dt

    e passiamo il limite per x\to -\infty così da scrivere che:

    \\ \lim_{x\to -\infty}\int_{x}^{-2}-\sqrt{1+t^4}dt\le\lim_{x\to -\infty}\int_{x}^{-2}-t^2dt= \\ \\ \\=\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{t^3}{3}\right]_{x}^{-2} = \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\left[-\frac{8}{3}+\frac{x^3}{3}\right]=-\infty

    In definitiva l'integrale b) vale -\infty perché somma tra un integrale finito e un integrale che diverge negativamente.

    Nel caso servisse, ecco una lezione dedicata allo studio di funzione integrale.

    Risposta di Ifrit
 
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